Pregunta 5 de calculo integral

En todas estas integrales hay que descomponer el denominador en factores ya sean simples, múltiples, reales o complejos.

Si son reales simples tienen la forma (x-a)

Si son reales múltiples son (x-a)^n

Si son complejos simples (x^2+px+q) con p^2-4q<0

Si son complejos múltiples (x^2+px+q)^n con p^2-4q<0

El último caso no es recomendable para la salud, asi como que sea alto el grado del polinomio.

Y la dificultadad muchas veces estriba en factorizar el denominador, en teoría se enseña que siempre puede factorizarse con factores de ese tipo, luego z^4+1 tiene que poder factorizarse. Ya a primera vista se ve que no puede tener ninguna raíz real porque esa función es siempre mayor que cero.

Sus raíces son las raíces cuartas de -1.

-1 en forma polar tiene módulo 1 y ángulo 180º, la primera raíz cuarta tiene por tanto módulo 1 y ángulo 180/4 = 45. Las siguientes se obtienen sumando 360/4 = 90 grados a la anterior

Luego son todas de módulo 1 y ángulos 45,135, 225 y 315. Para evitar arrastrar expresiones penosas voy a definir:

r = sqrt(2)/2

s = 2r = sqrt(2)

y las cuatro raíces son:

r + r·i

-r + r·i

-r - r·i

r - r·i

Si agrupamos cada raíz con su conjugada se consigue que el producto de un binomio con coeficientes reales

(z-r-ri)(x-r+ri) = (z-r)^2 + r^2 = z^2 + 1/2 - 2rz + 1/2 = z^2 - 2rz +1 = z^2 - sz + 1

(z+r-ri)(z+r+ri) = (z+r)^2 + r^2 = z^2 + sz +1

Luego z^4 + 1 = (z^2 - sz + 1)(z^2 + sz +1)

donde recuerda que s=sqrt(2)

Tenemos una integral racional con raíces complejas simples. La teoría dice que la descomposición en fracciones simples puede hacerse de este modo

(1+z^2)/(1+z^4) = (az+b)/(z^2-sz+1) + (cz+d)/(z^2+sz+1)

Vamos a tomar ya solo los numeradores, los denominadores ya sabemos que son iguales y se simplifican

1+z^2 = az^3+asz^2+az+bz^2+bsz+b +cz^3-csz^2+cz+dz^2-dsz+d

1+z^2 = (a+c)z^3 + (as+b-cs+d)z^2 + (a+bs+c-ds)z + (b+d)

Y de esto se deduce el siguiente sistema de 4 ecuaciones, que se resuelve como mejor se pueda, no es obligatorio plantar la matriz y hacer ceros. Yo lo haré a mi manera con sustituciones y yendo hacia abajo volviendo para arriba, explicarlo lleva mucho trabajo. Hay cosas que solo se pueden explicar estando presente con una pizarra, dibujando flechas de aquí para allá, etc.

a+c = 0 ==> a = -c

as+b-cs+d = 1 ==> -2cs +b+d = 1 ==> -2cs=0 ==> c = 0 ==> a=0

a+bs+c-ds = 0 ==> bs-ds = 0 ==> b-d = 0

b+d = 1 ==> 2b = 1 ==> b = 1/2 ==> d = 1/2

Luego la cesxomposición es

$(1+z^2)dz/(1+z^4) = (1/2)$ dz/(z^2-sz+1) + (1/2)$dz/(z^2+sz+1)

Ambas son integrales de sendos arcotangentes, para calcularlas hay que completar cuadrados.

z^2-sz +1 = (z-s/2)^2 - (s^2/4) + 1 = (z-r)^2 - 1/2+ 1 = (z-r)^2 + 1/2 =

[2(z-r)^2+1]/2 = {[s(z-r)]^2+1}/2

Y eso ya tiene la pinta de una derivada de arcotangente.

Análogamente

z^2+sz+1 = {[s(z+r)]^2+1}/2

Y todo esto llevado a las integrales, con el 2 que sube al denominador y se simplifica con el 1/2 de fuera queda:

= $dz/{[s(z-r)]^2 + 1} + $dz/{[s(z+r)]^2 + 1} =

Y lo único que falta para tener derivadas exactas de arctangente es un s en el numerador, luego hubo uno en el denominador qeu se lo comió

= (1/s){arctg[s(z-r)] + arcrg[s(z+r)]} =

= [1/sqrt(2)]{arct[sqrt(2)z - 1] + arctg[sqrt(2)z+1]} + C

Y eso es todo.