Limite de una función
el enunciado dice lo siguiente: Dada
$$\begin{align}&f(x)=\sqrt{5x+1}\\ &\end{align}$$, hallar
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$para
$$x>-\frac{1}{5}$$RESPUESTAS POSIBLES:
a) 0
b)
$$\infty$$
c)
$$\frac{5}{2\sqrt{5x+1}}$$d)
$$\frac{1}{5x+1}$$
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Si ya has dado las derivadas, verás que ese límite es la definición de la derivada de la función f y sabrás cuál es la respuesta.
Pero de todas formas lo resolveremos por los métodos de los límites.
$$\begin{align}&\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{5(x+h)+1}-\sqrt{5x+1}}{h}=\\ &\\ &\\ &\text{Como casi todos de este tipo se resuelve multiplicando}\\ &\text{y dividiendo por el conjugado}\\ &\\ &\\ &\lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{5(x+h)+1}-\sqrt{5x+1})(\sqrt{5(x+h)+1}+\sqrt{5x+1})}{h(\sqrt{5(x+h)+1}+\sqrt{5x+1})}=\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\text {Aplicamos que } (a-b)(a+b)= a^2-b^2\\ &\\ &\\ &\\ &\lim_{h \to 0}\frac{5(x+h)+1-(5x+1)}{h(\sqrt{5(x+h)+1}+\sqrt{5x+1})}=\\ &\\ &\\ &\\ &\lim_{h \to 0}\frac{5h}{h(\sqrt{5(x+h)+1}+\sqrt{5x+1})}=\\ &\\ &\\ &\\ &\lim_{h \to 0}\frac{5}{(\sqrt{5(x+h)+1}+\sqrt{5x+1})}=\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\text{Y como h tiende a cero, los dos sumandos del}\\ &\text{denominador se hacen iguales quedando}\\ &\\ &\\ &\frac{5}{2 \sqrt{5x+1}}\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Luego la respuesta correcta es la c)
Y eso es todo.
Muchísimas gracias...pensaba que los límites los llevaba bien pero me había atrancado en algo que, gracias a tu explicación, ahora se ve muy simple.
Un saludo!
