Estadística matemática con aplicaciones 5.67

5.67)

Dos variables son independientes si y solo si F(y1, y2) = F1(y1)·F2(y2), esa es la definición. Eso nos permitirá expresar esa probabilidad en función de F1 y F2

$$\begin{align}&P(a\lt Y_1\le b,\;c\gt Y_2\ge d)=\\ &\\ &F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c)=\\ &\\ &F_1(b)F_2(d)-F_1(b)F_2(c)-F_1(a)F_2(d)+F_1(a)F_2(c)\\ &\\ &\\ &\text{Por otro lado tenemos}\\ &\\ &P(a\lt Y_1 \le b)=F_1(b)-F_1(a)\\ &P(c\lt Y_2 \le d)=F_1(d)-F_1(c)\\ &\\ &\text{Y si lo multiplicamos tenemos}\\ &\\ &P(a\lt Y_1 \le b)·P(c\lt Y_2 \le d)=\\ &\\ &[F_1(b)-F_1(a)]·[F_1(d)-F_1(c)] =\\ &\\ &F_1(b)F_2(d)-F_1(b)F_2(c)-F_1(a)F_2(d)+F_1(a)F_2(c)\\ &\\ &\\ &\text{Luego si Y1, Y2 son independientes tenemos:}\\ &\\ &P(a\lt Y_1\le b,\;c\gt Y_2\ge d)=P(a\lt Y_1 \le b)·P(c\lt Y_2 \le d)\end{align}$$

Y eso es todo.