Hallar parámetros para que tres planos contengan una recta

El vector director de un plano es perpendicular a cualquier recta contenida en el plano.

Como los tres planos contienen la misma recta los tres vectores directores de los planos son perpendiculares a esa recta. Por ser perpendiculares a una recta están los tres en el plano perpendicular. Y en un plano solo puede haber dos vectores linealmente independientes, si hay tres uno de ellos es combinación lineal de los otros dos y el sistema es dependiente.

Y la forma que tenemos de comprobar si tres vectores de R3 son dependientes es formar la matriz con los 3 y haciendo ceros o calculando el determinante lo averiguaremos.

Vamos pues ya con la resolución. Los vectores puestos en la matriz son

1 2 -1
2 1  a
3 3 2

Más que hacer ceros o calcular el determinante, se ve claramente que el tercero podrá ser la suma de los dos primeros si damos el valor adecuado a a

1+2 = 3

2+1 = 3

-1+a = 2

a = 2+1 = 3

Luego si damos el valor a=3 un vector será la suma de los otros dos y los tres vectores estarán en el mismo plano y los tres planos podrán tener una recta común.

Y ahora hay que calcular b para que el sistema sea compatible, de la misma forma que la tercera fila de la matriz de coeficientes es la suma de las das primeras, el resultado también debe ser la suma de los dos resultados primeros, de lo contrario sería un sistema incompatible. Luego

1+0 = b

b=1

Luego debe ser a=3 y b=1

Y eso es todo.