Subconjuntos no vacíos en W
Si W= {v_1,v_2,?,v_n } es un conjunto de
vectores I. I. En un espacio vectorial sobre los reales, demuestra que
cualquier subconjunto no vacío de W es I. I.
1 Respuesta
Supongamos que hay un subconjunto linealmente dependiente. Y sin perder generalidad vamos a suponer que son los m primeros, ya que si no lo fueran reordenamos los vectores para que así sean.
Por definición existirán escalares a1, a2, ..., am com m <=n no todos iguales a 0 tales que
$$a_1v_1 + a_2v_2 + ...+ a_mv_m = 0$$
entonces tomaremos la combinación lineal que resulta de añadir el resto de vectores multiplicados por cero, obviamente el valor es el vector nulo
$$a_1v_1 + a_2v_2 + ···+ a_mv_m+0·v_{m+1}+0·v_{m+2}+···+0·v_n=0$$Y entonces tenemos que existe una combinación lineal de todos los elelementos de W igualada al vector nulo con algún escalar no 0, luego W es linealmente dependiente. Pero esto es absurdo ya que la hipótesis es que W es linealmente independiente.
Luego no puede haber ningún subconjunto que sea l.d.
Y eso es todo.
