Series y sucesiones... Álgebra / Cálculo

La condición necesaria para que una serie positiva sea convergente es que el término enésimo tienda a cero cuando n tiende a infinito. Eso no se da en este caso:

$$\begin{align}&\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{3^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n(n-1)(n-2)···4·3·2·1}{3·3·3···3·3·3·3}=\\ &\\ &\lim_{n\to\infty} \frac{6}{27}\frac{n(n-1)(n-2)···4}{3·3·3···3}=\\ &\\ &\lim_{n\to\infty} \frac{6}{27}·\frac{n}{3}·\frac{n-1}{3}·\frac{n-2}{3}···\frac 43\end{align}$$

Ahora tenemos infinitos factores, todos ellos mayores que 4/3 y su producto es infinito.

Luego como el termino enésimo no tiende a 0 la serie es divergente.

Y eso es todo.