Ejercicios de álgebra lineal

Un subconjunto S de un espacio vectorial (V, K) es un subespacio vectorial si

1) No es vacío.

2) u + v € S para todo u,v € S

3) k·u € S para todo u € S y todo k €K

Las matrices simétricas no es un conjunto vacío, la matriz nula pertenece a él.

Y dadas dos matrices A y B se verifica que aij = aji para todo 1 <= i,j <= n

Entonces si llamamos C a la suma tenemos

Cji = aji + bji = aij +bij = Cij para todo 1 <= i,j <= n

Y en el producto de la matriz por un escalar k tendremos

Cji = k·aji = k·aij = Cij para todo 1 <= i,j <= n

Luego se cumplen las tres condiciones y las matrices simétricas son un subespacio vectorial

Y tampoco son todo el espacio vectorial Mn, hay muchas matrices que no son simétricas.

Para definir una matriz simétrica basta con dar los elementos por encima de la diagonal y los de la diagonal. Los que están por debajo tienen el mismo valor que el que les corresponde por encima.

Entonces tomaremos como base matrices simétricas con un solo 1 y su simétrico si está fuera de la diagonal o con un slo 1 si esta en la diagonal. Mediante la adecuada combinación de sumas de estas matrices multiplicadas por escalares se obtiene cualquier matriz simétrica. Y la dimensión es.

Si a la matriz le quitamos la diagonal quedan mitad por arriba y mitad por abajo, luego por arriba hay

(n^2 - n)/2

y si a esto le sumamos la diagonal son

(n^2-n) / 2 + n = (n^2-n+2n)/2 = (n^2+n) / 2

Esa es la dimensión del espacio vectorial de las matrices simétricas nxn

Y eso es todo.