Integrales de superficies 1

Cuando tardo en contestar o no contesto una pregunta es por la dificultad que tiene la misma para mí, que voy a tener que buscar en internet y entender lo que encuentre para poder contestarla. Podrías ayudar algo diciéndome que libro usas, porque a lo mejor en ese libro te dan ya las ecuaciones bastante avanzadas mientras que si se parte de cero es algo muy complicado.

Y lo único que he encontrado es lo típico de los movimientos en el plano euclídeo de álgebra lineal. Con lo que yo detestaba siempre que hablaban de cambios de base; pues si teníamos una sencilla que todo iba bien por qué había que cambiarla.

El eje de giro será una recta. Tendremos que obtener un punto A de ella y un vector director unitario. Si no nos lo dan se calcula que no es difícil, el punto A=(a, b, c) se calcula a tanteo con las ecuaciones de los planos y el vector por el producto vectorial de los vectores del plano convenientemente normalizado después.

Asi que tendremos:

eje: (a, b, c) + t(u,v,w) con sqrt(u^2+v^2+w^2)=1

Ahora tenemos que crear una base ortonormal que contenga ese vector director

El vector (-v, u, 0) es ortogonal, luego (-v/sqrt(u^2+v^2), u/sqrt(u^2+v^2), 0) es ortonormal y será el segundo vector de la base

Y el tercer vector de la base nueva será el producto vectorial de estos dos y normalizado después. La expresión es muy compleja para escribirla, cuando sean números concretos es otra cosa.

Ya tenemos una base en la cual el eje de giro coincide con el eje X de esa base.

Y la matriz P del cambio de base tiene los vectores de la base puestos por columnas.

Y por ser P ortonormal la matriz inversa es la transpuesta de P

Respecto de esta base la matriz de giro Mb es

1    0       0
0  cos(s) -sen(s)
0 sen(s) cos(s)

Para que el giro quede expresado en las coordenadas de la base inicial habrá habido que multiplicar antes por la matriz del cambio y después por la inversa del cambio, llamemos M a esta matriz

M = P·(Mb)·(P^t)

Si el eje pasa por el punto (0,0,0) ya no es necesario nada más, tendremos

X' = MX

Pero si no pasa por el origen lo que haremos será trasladar el punto (0,0,0) al punto (a, b, c) de la recta hacer la rotación y después hacer la traslación inversa. Esto se hace con esta operación

X' = A + M(X-A)

Y esa es la ecuación del giro, si el giro toma todos los valores posibles se genera una superficie de revolución.

Los vectores X' y X dependerán del parámetro t que define la curva

X = (x(t), y(t), z(t))

Y en la matriz M aparecerá s que será el otro parámetro de la superficie y será un ángulo que puede tomar valores entre 0 y 2Pi.

Con esos dos parámetros s y t tenemos la función X' de la superficie

Y eso es todo.