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3.90)
Si se deben examinar 10 empleados para obtener 3 positivos significa que entre los nueve primeros hubo exactamente 2 positivos. La distribución será por tanto binomial con n =9 y p=0,4
P(positivos=2 en los nueve primeros) = (9 sobre 2) (0,4^2)(0,6^7) = (9·8/2) (0,16)(0,0279936) = 0,161243136
Ahora el décimo debe ser positivo,luego:
P(en el 10 salga el tercer positivo) = 0,161243136 · 0,4 = 0,0644972544
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3.91) Debemos construir las probabilidades de que con n empleados se completen tres positivos, por supuesto n>=3. El ejercicio anterior nos ayudará a crear la fórmula general.
Debe haber 2 positivos en los n-1 primeros y el n ser positivo
P(n sea el tercer positivo)= (n-1 sobre 2)(0,4)^3·(0,6)^(n-3)
E(Y) = Sum(n=3, +oo) de [n(n-1)(n-2)/2](0,4)^3·(0,6)^(n-3) =
3·Sum(n=3, +oo) de [[n(n-1)(n-2)/6](0,4)^3·(0,6)^(n-3) =
3·Sum(n=3, +oo) de (n sobre 3) (0,4)^3·(0,6)^(n-3) =
No veo nada para poder hacer esa suma, no es una sucesión geométrica, sacaré fuera lo inncecesario.
3·(0,4)^3 · Sum(n=3,+oo) de (n sobre 3)(0,6)^(n-3) =
0,192 Sum(n=3,+oo) de (n sobre 3)(0,6)^(n-3)
Aunque sea calculo el sumatorio con la calculadora porque no veo fórmula que me sirva.
Mejor habría sido programarlo con el ordenador porque la calculadora es muy lenta, pero he obtenido estos resultados
Sum(n=3,10) = 27,488
Sum(n=3,20) = 38,632
Sum(n=3,40) = 39,0624
Sum(n=3,80) = 39,0625
Sum(n=3,160) = 39,0625
Luego 39,0625 parece que sea la cifra casi definitiva
E(Y) = 0,192 · 39,0625 = 7,5 intentos
Y entonces el precio será 7,5·20 = $150
Coincide con el libro porque está bien hecho y tenía que coincidir si en el libro estaba bien, pero te digo que me extraña un problema para mi entender tan difícil, por eso lo había dejado tantos días sin hacer.
Y la varianza es otro de esos casi imposibles. Esta vez la variable en vez de ser el número de exámenes será directamente el precio, llemémosla P. P=20Y
V(P) = Sum(n=3,+oo) de (20n-150)^2·[(n-1)(n-2)/2](0,4)^3·(0,6)^(n-3)=
[400(0,4)^3]/2·Sum(n=3,+oo) de (n-7,5)^2·(n-1)(n-2)·(0,6)^(n-3) =
[400(0,4)^3]/2·Sum(n=3,+oo) de (n-7,5)^2·(n-1)(n-2)·(0,6)^(n-3) =
12,8 Sum(n=3,+oo) de (n-7,5)^2·(n-1)(n-2)·(0,6)^(n-3) =
Confiemos de nuevo la tarea a la calculadora:
Para el sumatorio hasta 80 y 160 me da lo mismo igual que antes
V(P) = 12,8·351,5625 = 4500
Me extraña que las cifras salgan tan enteras y exactas como 150 Y 4500, Seguramente hay una fórmula para esa suma infinita aunque yo no haya dado con ella. Voy a mirar el libro a ver si lo dice...
VALE, esta distribución se llama binomial negativa, dice que es opcional estudiarla y que es tedioso calcular la suma infinita de la esperanza y varianza, que se usan para ello técnicas del capítulo 5 y nos dice las fórmulas sin demostración que son
E(Y) = r/p
V(Y) = r(1-p)/p^2
Donde r es el número de éxitos que deben darse y p la probabilidad del exito.
En nuestro caso r=3 y p = 0,4
E(Y) = 3/0,4 = 7,5 ==> E(P) = $150
V(Y) = 3(0,6)/(0,4)^2 = 1,8/0,16 = 11,25
La varianza es una magnitud cuadrada, no es difícil demostrar que si la variable se multiplica por algo la varianza se multiplica por ese algo al cuadrado
V(P) = V(20Y) = 400V(Y) = 400·11,25 = 4500.
Pues ya ves, lo sencillo que habría sido si hubiera leído el libro en vez de enfrascarme en mis cálculos.
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3.92)
El primero debe ser defectuoso y el segundo no, eso nos da una probabilidad de
P(primer no defectuoso sea el segundo) = 0,1·0,9= 0,09
Y eso es todo.
