Estadística matemática con aplicaciones 5.30

Carito 1557!

a) Usaremos la definición de probabilidad condicionada

P(A|B) = P(AnB) / P(B)

$$\begin{align}&P(Y_1 \ge0.5; \;Y_2 \le0.25)=\\ &\\ &\int_{0.5}^{0.75}\int_0^{0.25}2\,dy_2\,dy_1+\int_{0.75}^{1}\int_0^{1-y_1}2\,dy_2\,dy_1=\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &2·0.25·0.25 +2\int_{0.75}^1(1-y_1)dy_1=\\ &\\ &\\ &0.125+2\left[y_1-\frac{y_1^2}{2}\right]_{075}^1=\\ &\\ &\\ &0.125+2(1-0.5-0.75+0.75^2/2)=0.1875\\ &\end{align}$$

Descompongamos en dos partes la P(Y2<=1/4)

P(Y2<=1/4) = P(Y1<=1/2; Y2<=1/4)+P(Y1>=1/2; Y2<=1/4)

La segunda parte la acabamos de calcular. Y la primera es sencilla porque los límites de integración van a ser constantes Y1 entre 0 y 1/2, Y2 entre 0 y /1/4.

Basta multiplicar el 2 que es la función primitiva que obtendremos por la amplitud de los intervalos

P(Y1<=1/2; Y2<=1/4) = 2·(1/2)(1/4) = 2/8 = 0.250

Luego P(Y2<=1/4) = 0.1875+0.250 = 0.4375

Y finalmente

P(Y1>=1/2 | Y2<=1/4) = 0.1875 / 0.4375 = 0.4285714286

b) Si Y2 vale 1/4 entonces Y1 puede tomar valores entre 0 y 3/4. La función de densidad es una constante luego cualquier punto tiene la misma probabilidad. La probabilidad viene dada unicamente por el área de la figura que cumple las condiciones o por la longitud del segmento cuando es una probabilidad marginal.

En este caso:

Cuando Y2=1/4 entonces Y1 es el segmento [0, 3/4] y nos piden la probabilidad del segmento [0, 1/2], luego la probabilidad condicionada es

P(Y1>=1/2 | Y2=1/4) = (1/2)/(3/4) =1·4/(2·3) = 4/6 = 2/3

Y eso es todo.