Demostración de sucesiones

Hay un teorema que dice que toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente. Seguramente lo tendrás en el libro o en los apuntes.

Entonces bastará con ver que esta sucesión es acotada para que tenga una subsucesión convergente.

En primer lugar, sen(5n) toma valores entre -1 y 1, hará infinitos ciclos pero su valor está acotado por esas dos cantidades.

En segundo lugar, la función e^x es monótona creciente, lo sabemos de toda vida por la gráfica, porque una función exponencial de exponente mayor que 1 es creciente o porque al derivar tenemos e^x que es siempre positiva. Una función monótona creciente tendrá sú mínimo en un intervalo en el extremo izquierdo y el máximo en el derecho

Luego la función e^(sen5n) toma valores e^x con x€[-1,1] el mínimo es e^(-1) y el máximo e. Esas son las cotas inferior y superior de la sucesión.

Y al estar acotada se aplica el teorema que decía y tiene una subsucesión convergente.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no entendiste algo pregúntamelo y si ya está bien NO olvides puntuar.