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5.70)
La verdad que yo lo haría de otra forma más simple, pero vamos a hacerlo tal como dicen.
Las funciones de densidad de la hora de la persona y del autobús son de lo más sencillo, al distribuirse uniformemente un un intervalo [ 0,1] son simplemente 1.
Y si las variables son independientes la función de densidad conjunta es el producto de ambas, o sea, 1.
No tendremos más que integrar la función identidad en el dominio que nos dicen.
Y1 es la hora del autobús, puede ser cualquiera del intervalo [0,1]
Y2 se la hora del pasajero, debe ser menor que Y1 pero no 1/4 de hora menor
Esto se resuelve dividiendo el dominio en dos partes
Y1 en [0, 1/4] e Y2 en [0, Y1]
Y1 en [1/4, 1] e Y2 en [Y1-1/4, Y1]
$$\begin{align}&P(Y_2 \le Y_1 \le Y_2+1/4)=\\ &\\ &\\ &\int_0^{1/4}\int_0^{y_1}dy_2dy_1+\int_{1/4}^1\int_{y_1-1/4}^{y1}dy_2dy_1=\\ &\\ &\\ &\int_0^{1/4} \left[ y_2\right]_0^{y_1}dy_1+ \int_{1/4}^1\left[ y_2 \right]_{y1-1/4}^{y_1}dy1=\\ &\\ &\int_0^{1/4}y_1dy_1 + \int_{1/4}^1 \frac{dy_1}{4}=\\ &\\ &\\ &\\ &\left[ \frac{y_1^2}{2}\right]_0^{1/4}+\left[ \frac{y_1}{4}\right]_{1/4}^1=\frac{1}{32}+ \frac 14-\frac{1}{16}=\frac{7}{32}\end{align}$$POR CIERTO. En el problema 5.69 hay un fallo. Me equivoqué al formular los límites de integración y lo arreglé dentro del editor de ecuaciones cuando me di cuenta, pero se me olvidó corregirlos en la previsión que hice fuera del editor. Por eso donde dice:
Entonces haremos variar Y1 en [0,1] e Y2 en [1-Y1, 1]
debe poner
Entonces haremos variar Y1 en [0,1] e Y2 en [0, 1-Y1]
Eso no afecta al resultado que está bien.
Y eso es todo.
