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Lo primero será establecer el signo de congruencia. Ya hace días que vengo usando esto, no se parece mucho pero no he encontrado otro que me guste
a ~: b (mod m)
Luego el ~: es el símbolo de congruente.
El teorema de Wilson dice que si p es primo entonces
(p-1)! ~: -1 (mod p)
como 59 es primo tenemos
58! ~: -1 (mod 59)
58·57·56·55·54·53! ~: -1 (mod 59)
Una de las propiedades de las congruencias dice,
a ~: b mod n ==> ac ~: bc (mod n)
fácil de demostrar
a=b+kn
ac = bc + knc
como knc es múltiplo de n se tiene
ac ~: bc (mod n)
Entonces los números 58,57,56,55,54 los sustituimos por otros congruentes que permiten operar más fácilmente
58 ~: -1 (mod 59)
57 ~: -2 (mod 59)
...
54 ~: -5 (mod 59)
La vieja congruencia
58·57·56·55·54·53! ~: -1 (mod 59)
Se transforma en
(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)53! ~: -1 (mod 59)
-120·53! ~: -1 (mod 59)
Vamos a sumar 2·59·53! En la izquierda, se mantiene la congruencia porque sumamos un múltiplo de 59. O sea, sumamos 118·53!
-2·53! ~: -1 (mod 59)
2·53! ~: 1 (mod 59)
Y ahora consiste en quedarnos a la izquierda con 53! Se podría usar el algoritmo de extendido de Euclides para resolver la congruencia poniendo x donde el 53!
2x ~: 1 (mod 59)
Pero le tengo alergia al algoritmo ese.
Lo que haré es mediante algún producto y restas dejar ese 53! En la izquierda
Y sale a la primera, si multiplico por 30 me queda
60·53! ~: 30 (mod 59)
Le resto 59·53!
53! ~: 30 (mod 59)
Luego 30 es el residuo de 53! Módulo 59.
Y eso es todo.
