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Clayre 73!
Este ejercicio es del Lima o no lo es. Es que es muy importante usar lo que te diga el libro que puedes usar. Aparte que esto podría ser difícil de demostrar, es equivalente a que la suma de raíces cuadradas irracionales positivas es siempre irracional, algo que sabemos que es verdad pero no sé como se demuestra.
Supongo que no será del Lima, me dices si es de otro.
no la verdad no es de alguno en especial, son propuestos por el profe...
Suponemos que
sqrt(a) + sqrt(b) = p/q
elevando al cuadrado
a+b+2sqrt(ab) = p^2 / q^2
sqrt(ab) = [(p^2/q^2)-a-b]/2
Luego sqrt(ab) es racional
Sean
a=x/y con x,y primos entre si
b=z/t con z,t primos entre si
con x,y,z,t € N y mayores que 0 todos
sqrt(ab) = sqrt(xz/yt)= sqrt(xz)·sqrt(yt) / [sqrt(yt)]^2=
sqrt(xyzt)/yt
Para que sea racional debe serlo el numerador.
Una raíz cuadrada de un número natural solo es racional si es un cuadrado perfecto, sino por razonamientos como el que se usa para sqrt(2) se llega a que es irracional
Si los cuatro son cuadrados perfectos ya está, porque x/y es cuadrado perfecto y entonces su raíz es racional, lo mismo que z/t.
Supongamos que x no es cuadrado perfecto. Racionalizamos el denominador de sqrt(x/y) con la típica multiplicación y división por sqrt(y)
sqrt(x/y) = sqrt(xy)/y
Esto no es racional porque xy no es cuadrado perfecto ya que y no tiene ningún factor primo común con x y no enmienda los factores primos impares que tenía x.
Lo mismo puede demostrarse si es y, z o t el que no es cuadrado perfecto, y se llega a la conclusión de que si alguno de los cuatro no es cuadrado perfecto entonces sqrt(a) o sqrt(b) no son racionales tal como decía el enunciado.
Luego debe cumplirse que los cuatro son cuadrados perfectos con lo cual las sqrt(x/y) y sqrt(z/t) son racionales.
Y eso es todo.
