Ejercicios de análisis 3

Para todo x€A se cumple

x <= SupA

luego

x-b <= SupA - b

Luego SupA- b es una cota superior de C

Y todo conjunto acotado superiormente en R tiene supremo, luego existe supC.

Puesto que SupA - b es cota superior de C entonces

SupC <= SupA - b

Supongamos que se diese la desigualdad estricta

SupC < SupA - b

SupC + b < SupA

para todo y € C se cumple y <= SupC

y+b <= SupC + b < SupA

y es de la forma x-b con x €A

(x-b)+b <= SupC+b < SupA

x <= SupC+b < SupA

Y hemos encontrado que SupC+b es una cota superior de A y es menos que SupA, lo cual es absurdo. Luego no puede darse la desigualdad estricta y tiene que darse la igualdad, SupC = SupA-b

Y eso es todo.