Máximos y mínimos de calculo diferencial

Imagino que ya habrás dado funciones de varias variables y los multiplicadores de Lagrange.

La función a maximizar tiene dos variables

f(x,y) = xy

y la ecuación que liga las variables es

g(x,y) = x^2 + y^2 - 100 = 0

En estas condiciones los máximos o mínimos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales de

F(x,y) = f(x,y) + t·g(y)

donde t es el multiplicador de Lagrange que en la teoría te lo habrán llamado alfa

F(x,y) = xy + t·(x^2+y^2-100)

Fx(x,y) = y + 2tx = 0

Fy(x,y) = x+ 2ty = 0

Despejamos t en la primera

t = -y/(2x)

y lo llevamos a la segunda

x - 2y^2/(2x) = 0

2x^2 - 2y^2 = 0

x^2 = y^2

Y deben cumplir también la ecuación de ligadura

x^2 + y^2 - 100 = 0

2x^2 = 100

x^2 = 50

x = +- sqrt(50) = +- 5·sqrt(2)

y=+- 5sqrt(2)

Nótese que se admite cualquier combinación de signos ya que la igualdad solo es necesaria en los cuadrados. Y de las cuatro combinaciones posibles se ve que dos son máximos y dos son mínimos.

Los máximos son

x = 5·sqrt(2), y = 5·sqrt(2)

x = -5sqrt(2), y = -5sqrt(2)

Y cuando una es positiva y la otra negativa son los mínimos que no nos los piden.

Y eso es todo.