5.11)
Yo no había empleado el nombre de "ciclos ajenos" es lo mismo que yo he llamado "ciclos disjuntos". Para entendernos, ciclos que no tienen ningún número en común.
Para demostrar por inducción comenzaremos demostrando que si mueve dos elementos puede expresarse como producto de ciclos disjuntos. No comenzamos con la que mueve 1 elemento porque una permutación no se puede mover un solo elemento.
La permutación que mueve dos elementos no puede ser otra cosa que un ciclo de esos dos elementos, no podemos llevar uno de ellos a otro lugar porque entonces el elemento de ese lugar se mueve y ya son tres al menos los que se mueven.
Luego la permutación que mueve dos elementos es un ciclo (a, b)
Ahora supongamos que la permutación que mueve n o menos elementos es producto de ciclos disjuntos, veamos que la que mueve n+1 elementos también es producto de ciclos disjuntos.
Si la permutación que mueve n+1 elementos tiene algunos que forman un ciclo de orden menor que n+1, será un producto de ese ciclo por una permutación de los otros elementos. Como los otros elementos ya son menos de n, se puede poner la permutación de ellos como producto de ciclos disjuntos. Y la permutación completa será producto de ciclos disjuntos, ya que el primer ciclo y los otros no tienen elementos comunes.
Y si la permutación no tiene un ciclo de orden menor que n+1 tendrá un solo ciclo de orden n+1, que por definición tiene todos los elementos distintos.
Luego quedo demostrado que si la permutación que mueve n elementos se puede expresar como ciclos disjuntos también se puede expresar como ciclos disjuntos la que mueve n+1 elementos.
Luego para cualquier numero de elementos movidos la permutación que los mueve se puede expresar como producto de ciclos disjuntos.
Queda demostrado lo que nos piden para conjuntos finitos. Yo diría que incluso queda demostrado para conjuntos numerables.
Eso es todo.
