3... Análisis libro lima.. Capitulo 1

a)

Sea n = card X. Existe una biyección f de X en In. Como Y esta incluido en X tomemos el elemento menor de Y y hacemos la biección tal que la aplicación de ese elemento sea el 1. Eso puede hacerse por el lema 1. Después el menor del conjunto Y menos ese elemento lo aplicamos en el 2. Y hacemos esto con todos los elementos de Y. Tendremos una biyección entre X e In donde los elementos de Y se aplican a los primeros elementos de In, luego habrá una aplicación biyectiva entre Y y los primeros m elementos de In siendo m <= n. Luego el cardinal de Y será m y sera menor que n que era el cardinal de X.

b)

Sea

card X=n

Card Y=m

Card (Y n X)=p

Hay sendas aplicaciones biyectivas f de X en In y g de Y en Im

Por el lema 1 podemos hacer que la aplicación biyectiva g sea tal que las imágenes de Y-X sean las primeras, es decir g(Y-X) = I sub (m-p)

Entonces definimos la aplicación de h de XUY en I sub(n+m-p)

Si z € X, h(z) = f(z)

Si z no€ X, h(z) = n+g(z)

Esta aplicación es biyectiva.

i) inyectiva

Suponemos h(z)=h(t)

Si z,t pertenecen a X, z=t porque f es inyectiva

Si z,t no€ X, z=t porque g(z)+n es biyectiva de (Y-X) en {n+1, n+2, ..., n+m-p}

Si uno es de X y el otro no es imposible porque f(X) <=n y n+g(Y-X)>n

Ii) Suprayectiva

Si i <=n tiene origen porque f es suprayectiva

Si n+1 < i < n+m-p suprayectiva porque n+ g suprayectiva de (Y-X) en {n+1, n+2, ..., n+m-p}

Es un rollo demostrar esas cosas tan obvias pero que si tiene que ser meticuloso es horrible hacerlo.

c)

Sea

n = Card X

m = Card Y

Existe f biyectiva de X en In y g biyectiva de Y en In

Definimos h de XxY en Inm del siguiente modo

h(i,j) = [f(i)-1]m + g(j)

Veamos de es una aplicación biyectiva de XxY en Inm.

Primero veamos que las imágenes están siempre entre 1 y nm

El valor mínimo es para f(i)=1 y g(j)= 1 y es

h(1,1) = (1-1)·m+1 = 0m + 1 = 1

y el máximo para f(i)=n y g(j)=m

h(n,m) = (n-1)m +m = nm

Segundo que es inyectiva

Sea h(i,j) = h(r,s)

[f(i)-1]m+g(j) = [f(r)-1]m+g(s)

Como la función g tiene valores entre 1 y m supongamos f(i) distinto de f(r), sin perder generalidad f(i)>f(r)

[f(i)-1]m- [f(r)-1]m= g(s) - g(j)

{[f(i)-1]m -[f(r)-1]}m = [f(i)-f(r)]m >=m

g(s)-g(j) <=m-1

luego la igualdad es imposible, por lo tanto debe ser f(i)= f(r)

y una vez que f(i)=f(r) se ve fácilmente que g(j)=g(s)

Como f y g son biyectivas se sigue i=r y j=s, luego (i,j)=(r,s) y h es inyectiva

La demostración de que es suprayectiva es muy liosa pero es verdad, simplemente pondré un ejemplo de cómo se hace.

Sea CardX= 3 y CardY=2 y f y g las funciones identidad

h(1,1)=1  h(1,2)=2
h(2,1)=3  h(2,2)=4
h(3,1)=5 h(3,2)=6

Dado un número i se obtiene la columna y la fila mediante operaciones de módulo y parte entera de la división

fila = parte entera de [(i-1)/m]+1

columna = 1 + [(i-1) mod m]

Y entonces h(fila, columna) = i

Y eso es todo.