Estadística matemática con aplicaciones e

4.8)

a)

Para que sea una función de densidad su integral definida entre -oo y +oo debe valer 1.

Como fuera del intervalo [0, 1] vale cero, es la integral entre 0 y 1 la que debe valer 1.

$ky(1-y)dy = $kydy - $ky^2dy = (ky^2)/2 - (ky^3)/3

Y ahora evaluamos esa función entre 0 y 1 e igualamos a 1 dicha evaluación

k/2 - k/3 - 0 + 0 = (3k+2k)/6 = 1

5k = 6

k = 6/5

Aprovechamos que hemos calculado k para escribir la función de distribución

F(y) = (5/6)(y^2 - y^3)

b) P(0,4 <= y <= 1) = F(1) - F(0,4) =

En el uno ya la hemos evaluado hace un rato e incluso hemos adecuado el valor de k para que valiese 1

= 1 - (5/6)(0,4^2 - 0,4^3) = 1 - (5/6)(0,16 - 0,064) = 1-(5/6)(0,096) =

1 - 0,48/6 = 1 - 0,08 = 0,92

c) P(0,4<=y<1)

Es exactamente lo mismo porque es una variable continua y el lim x-->1 de F(x) = F(1)

d) P(y <= 0,4 | y <= 0,8) =

La probabilidad condicionada es asi:

P(A|B) = P(A n B) / P(B)

La intersección en nuestro caso es

(y<=0,4) n (y <= 0,8) = (y<=0,4)

Luego la probabilidad condicionada es

= P(y<=0,4) / P(y<=0,8) = [F(0,4) - F(0)] / [F(0,8) - F(0)] = F(0,4) / F(0,8) =

El 5/6 se va a simplificar por estar en el numerador y denominador, lo omitimos. Recuerdo que arriba ya habíamos hecho las cuentas de F(0,4)

= 0,096 / (0,8^2 - 0,8^3) = 0,096 / (0,64 - 0,512) = 0,096 / 0,128 = 0,75

e) P(Y<0,4 | Y<0,8) Es igual que la anterior porque la función de distribución es continua en 0,4 y 0,8 al igual que en todos los puntos.

Y eso es todo.