1 Respuesta
a) Demostraremos el contrarecíproco que es siempre verdadero o falso de la misma manera q
No (Y infinito) ==> No(X infinito y f inyectiva)
Y finito ==> (No X infinito) o (No f inyectiva
Y finito ==> X finito o f no es inyectiva
Pues demostraremos eso
El corolario 1 dice:
Y finito y f inyectiva ==> X finito
Supongamos que es falso lo que queremos demostrar, o sea que:
Y es finito y X es infinito y es inyectiva
Esto contradice el corolario uno, luego el contrareciproco es verdadero y el el original también
Vaya, se mandó sola la respuesta antes de terminarla y cuando escribía líneas entre medias, espera que la terminé del todo.
a) Demostraremos el contrarecíproco que es siempre verdadero o falso de la misma manera que lo es el original. Si el contrerecíproco es verdadero lo será el original y si el contrareciproco es falso lo será el original. El contracíproco es poner como antecedente la negación del consecuente y como consecuente la negación del antecedente. O más sencillo, si el original e:
a ==> b
el contrarecíproco es
no b ==> no a
El contrarecíproco de lo que nos piden demostrar es
No (Y infinito) ==> No(X infinito y f inyectiva)
Y finito ==> (No X infinito) o (No f inyectiva
Y finito ==> X finito o f no es inyectiva
Pues demostraremos eso
El corolario 1 del libro dice:
Y finito y f inyectiva ==> X finito
Supongamos que es falso lo que queremos demostrar, o sea que:
Y es finito y X es infinito y es inyectiva
Esto contradice el corolario 1, luego el contrareciproco es verdadero y el original también
b) Creo que seguirá sirviendo demostrar el contrarecíproco y la usar la otra aseveración del corolario 1
El contrareciproco deducido en un paso es:
X finito ==> Y finito o f no es sobreyectiva
La suposición de falsedad del contraréciproco es
X finito y Y infinito y f sobreyectiva
Y la otra parte del corolario 1 dice
X finito y f sobreyectiva ==> Y finito
Lo cual es contradictorio con la falsedad del contrarecíproco, luego el contrarecíproco es verdadero y el original también.
Y eso es todo.
Tal vez se puede hacer más directamente.
a) El corolario 1 dice
Y finito y f inyectiva ==> X finito
el contrarecíproco dice
X infinito ==> Y infinito o f no inyectiva
Como X es infinito debe cumplirse el consecuente, y como f es inyectiva no se cumple la segunda parte de la disyunción luego debe cumplirse la primera y Y es infinito.
b) El corolario 1 dice
X finito y f sobreyectiva ==> Y finito
el contrarecíproco dice
Y infinito ==> X infinito o f no sobreyectiva
Como Y es infinito de cumplirse que X infinito o f no sobreyectiva, pero como f es sobreyectiva, debe cumplirse que X es infinito.
Y eso es todo.
