¿Me puede ayudar con este problema y gratificarlo?

Ya mira cuando habla de punto de equilibrio en economía, nos dice que "Los compradores estén comprando la cantidad que desean comprar, y los vendedores estén vendiendo la cantidad que desean vender". Por lo tanto se produce una igualdad entre oferta y demanda, la cual esta representada en ese caso por dos ecuaciones.

$$\begin{align}&P=\frac{q^2}{4}+10\\ &P=86-6q-3q^2\end{align}$$

Esto se traduce a un sistema de ecuaciones con dos incógnitas p,q, entonces para encontrar el punto de equilibrio entre estas ecuaciones solo debes buscar el punto de intersección de ellas, el método que usaremos sera igualación de ecuaciones.

$$\begin{align}&P=P-->\frac{q^2}{4}+10=86-6q-3q^2\\ &\\ &\frac{q^2}{4}+10-86+6q+3q^2=0\\ &\frac{13q^2}{4}+6q-76=0/\cdot(4)\\ &13q^2+24q-304=0\end{align}$$

Nos queda una ecuación cuadrática, por lo tanto debemos encontrar sus raíces, para ellos usamos la formula de ecuaciones cuadráticas.

$$\begin{align}&\frac{-b\pm\sqrt{b^2-(4\cdot{a}\cdot{c})}}{2a} \\ &\frac{-24\pm\sqrt{24^2-(4\cdot{13}\cdot{-304})}}{26} \\ &\frac{-24\pm\sqrt{576-(-15808)}}{26} \\ &\frac{-24\pm\sqrt{16384}}{26}\\ &\frac{-24\pm128}{26}\\ &\\ &q_1=\frac{-24+128}{26};q_2=\frac{-24-128}{26} \\ &q_1=\frac{104}{26};q_2=-\frac{152}{26}\\ &\\ &q_1=4\\ &q_2=-5,85\end{align}$$

Nos entrega dos valores por ser un ecuación cuadrática, entonces tomamos el valor positivo pues es el que nos sirve para casos como este.

Entonces tomamos el q_1=4 y lo reemplazamos en cualquiera de las 2 ecuaciones iniciales, para sacar el valor de p.

$$\begin{align}&q_1=4\\ &\\ &p=\frac{q^2}{4}+10\\ &p=\frac{4^2}{4}+10\\ &p=4+10\\ &p=14\end{align}$$

p=14 cuando q=4, entonces este vendría siendo el punto de intersección o punto de equilibrio.

Para la gráfica, lo que te puedo aconsejar busques información acerca del método de "Tabulación de ecuaciones" este método te ayuda a trazar gráficas, o en caso contrario ocupa algún programa que grafique, la pagina no me permite subir imágenes, de lo contrario te mostraría como queda.

Lo que te puede ayudar es la pagina del "wolfram" esa gráfica funciones.

En este link sale la gráfica de tus 2 ecuaciones, con ambos puntos de equilibrio, pero como sabes para casos como este solo se considera el punto positivo.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+p%3Dq%5E2%2F4%2B10%3Bp%3D86-6q-3q%5E2