Estadística matemática con aplicaciones 1

4.6)

a) Si y<0 no esta definída la función luego lógico que valga 0 la función de distribución.

Si y>0 se adopta como valor el de la parte entera de y, es lógico porque p(y) solo tiene valor en los números enteros. Mientras y no ascienda en su parte entera vale lo mismo.

Solo nos falta por ver que el valor 1-q^i es el sumatorio p(j) desde j=1 hasta i.

Recuerdo que aunque no lo pone, con la letra q se refiere a q=1-p

F[0, 1) = 1-q^0 = 1-1 = 0

p(0) no está definida

F[1, 2) = 1 - q^1 = 1 - q

Sum j=1 hasta 1 de p(j) = q^0·p = 1(1-q) = 1-q

F[2,3) = 1- q^2 =

Sum j=1 hasta 2 de p(j) = 1-q + q^1·(p) = 1-q+q(1-q) = 1-q+q-q^2 = 1 - q^2

Se demuestra por inducción:

Supongamos que se cumple para n

F[n, n+1) = 1 - q^n

Veamos que se cumple para n+1

F[n+1, n+2) = 1 - q^(n+1)

Voy a poner ya que p=1-q en la expresión de p(n+1) para ahorrarme escribir otra línea prácticamente igual

Sum j=1 hasta n+1 de p(j) = [Sum j=1 hasta n de p(j)] + q^n·(1-q) =

El sumatorio hasta n lo cumple por hipótesis, luego

= 1-q^n + q^n(1-q) = 1 - q^n + q - q^(n+1) = 1 - q^(n+1)

Luego para n+1 coincide la función F de distribución con el sumatorio de las probabilidades menores o iguales, eso era lo que había que demostrar.

b)

Las condiciones son estas tres:

1) F(-infinito) = 0 porque así esta definida F cuando y < 0

2) F(infinito) = 1

Como q<1 ==> q^n --> 0 cuando n --> +oo

lim n--> +oo de 1-q^n = 1 - 0 = 1

3) Al ser q<1 ==> la sucesión q, q^2, q^3,..., q^n es decreciente

Con lo que la sucesión de la distribución 1-q, 1-q^2, 1-q^3, ..., 1-q^n es creciente

Y eso es todo.