Análisis... Ejercicios de la bartle 4

Este ejercicio creo que está puesto para que usemos el resultado del ejercicio 1 en su resolución.

El ejercicio 1 decía, si I:=[a,b] y I':=[a',b'] entonces

I incluido en I' si y solo si a'<=a y b<=b'

Lo demostraremos por inducción.

Para n=1 no tiene sentido, nuestro punto inicial será n=2

tenemos I1=[a1,b1] e I2=[a2,b2]

aplicando el resultado anterior con I'=i1 e I=I2 tendremos

a1<=a2 y b2<=b1

Supongamos que se cumple para n intervalos

a1<=a2<= ···<=an y b1>=b2>=···>=bn

Ahora tomamos el intervalo n+1 que está contenido en el intervalo n. Aplicando el mismo resultado tendremos

$$\begin{align}&a_n\le a_{n+1}\quad y \quad b_n\ge b_{n+1}\\ &\\ &\text{y uniendo esto con lo anterior tenemos}\\ &\\ &a_1\le···\le a_n\le a_{n+1}\quad y\\ &\\ &b_1\ge···\ge b_n \ge b_{n+1}\end{align}$$

Luego se cumple para n+1 intervalos.

Y con esto queda demostrada la inducción y lo que nos pedía el ejercicio.