1 Respuesta
Demostrar que si 3a^2 - 2b^2 = 1 entonces a^2 - b^2 es divisible entre 40.
En un ejercicio anterior habíamos demostrado
Un número natural n cumple
i) Si n es múltiplo de 5 ==> n^2 :~ 0 (mod 5)
Ii) Si n no es múltiplo de 5 entonces n^2 :~ (1 o 4) (mod 5)
Los casos posibles son:
1) Si a y b son múltiplos de 5 es imposible la igualdad porque el lado izquierdo sería múltiplo de 5 y el derecho no lo es.
2) Si a es múltiplo de 5 y b no
3a^2 - 2b^2 :~ 3·0 - 2(1 o 4) :~ (-2 o -8) :~ (3 o 2)
no se puede dar la igualdad
3) Si a no es múltiplo de 5 y b sí lo es
3a^2 - 2b^2 :~ 3(1 o 4) -2·0 :~ (3 o 12) :~ (3 o 2)
No puede darse la igualdad
4) Si ninguno es múltiplo de 5
3a^2 - 2b^2 :~ 3(1 o 4) - 2(1 o 4) :~ (3-2, 3-8, 12-2, 12-8) :~ (1, 0, 0, 4)
Luego solo puede darse la igualdad cuando a^2 y b^2 son congruentes con 1 módulo 5
Entonces
a^2-b^2 :~ 1-1 :~ 0 (mod 5)
Luego a^2-b^2 es múltiplo de 5
Ahora vamos a demostrar las congruencias de n^2 módulo 8
i) Si n es mútiplo de 4 entonces n^2 :~ 4·4 :~ 16 :~ 0 (mod 8)
ii) SI n no es múltiplo de 4
n = 8m + r con r € {1,2,3, 5,6,7}
n^2 = (8m+r)^2 = 64m^2 + 16mr + r^2 : ~ r^2 (mod 8)
y las congruencias de r^2 son
{1, 4, 9, 25, 36, 49} :~ {1, 4, 1, 1, 4, 1} (mod 8)
Desarrollamos de nuevo los casos posibles de 3a^2 - 2b^2 = 1
1) Si a y b son múltiplos de 4 es imposible ya que la izquierda es múltiplo de 4
2) Si a múltiplo de 4 y b no
3a^2 - 2b^2 :~ 3·0 - 2(1 o 4) :~ (-2 o -8) :~ (6 o 0) no se cumple
3) Si a no múltiplo de 4 y b si
3a^2 - 2b^2 :~ 3(1 o 4) - 2·0:~ (3 o 12) :~ (3 o 4) no se cumple
3) Si ninguno es múltiplo de 4
3a^2 - 2b^2 :~ 3(1 o 4) - 2(1 o 4) :~ (3-2, 3-8, 12-2 o 12-8) :~ (1, 3, 2 o 4)
Solo se puede cumplir cuando a^2 y b^2 son congruentes con 1 mod 8, luego
a^2 - b^2 :~ 1-1 :~0 (mod 8)
Luego a^2 - b^2 es múltiplo de 8
Y como antes habíamos demostradao que era múltiplo de 5 tenemos que
a^2- b^2 es múltiplo de 5 y 8 ==> es múltiplo de su mcm ==> es múltiplo de 40
Y eso es todo.
Por cierto
program tresa2menos2b2;
{$mode objfpc}{$H+}
uses
{$IFDEF UNIX}{$IFDEF UseCThreads}
cthreads,
{$ENDIF}{$ENDIF}
Classes
{ you can add units after this };
var
i,j:int64;
r1: double;
begin
for i:=1 to 1000000000 do
begin
r1 := sqrt((3.0*i*i-1)/2.0);
if (r1=trunc(r1)) then
begin
j:=trunc(r1);
if 3*i*i - 2*j*j = 1 then
writeln(i:10,' ',j:10, i*i-j*j:16);
end;
end;
write ('fin');
readln;
end. Este programa encontraría las respuestas con b menor que 1.000.000.000
Solo han salido estas
a=1, b=1
a=9, b=11
a=89, b= 109
a=881, b=1079
