Sesgo y error cuadrático medio de estimadores puntuales. 14

8.14)

$$\begin{align}&E(\widehat{\theta}) = \int_0^{\theta}\widehat{\theta}f(\widehat{\theta})d\widehat{\theta} \\ &\end{align}$$

La probabilidad de que el estimador tome un valor y es la de que una de las Yi tenga ese valor y las demás tengan un valor inferior. Eso es n veces la función de densidad de Y por el valor de la función de distribución de y elevado a la n-1

Calculamos primero la función de distribución de Y

$$\begin{align}&F(x)=\int_0^x \frac{\alpha y^{\alpha-1}}{\theta^{\alpha}}dy =\\ &\\ &\left[\frac{y^{\alpha}}{\theta^{\alpha}}  \right]_0^x = \left(\frac{x}{\theta}\right)^{\alpha}\\ &\\ &f(\widehat{\theta}) = \frac{n \alpha \widehat{\theta}^{\;\alpha-1}}{\theta^{\alpha}}\left(\frac{\widehat{\theta}}{\theta}\right)^{\alpha (n-1)}=\\ &\\ &\frac{n \alpha \widehat{\theta}^{\;\alpha n-1}}{\theta^{\alpha n}}\\ &\\ &E(\widehat{\theta})=\int_0^{\theta}\frac{n \alpha \widehat{\theta}^{\;\alpha n}}{\theta^{\alpha n}}d\widehat{\theta}=\\ &\\ &\frac{n \alpha}{\theta^{\alpha n}}\left[ \frac{\widehat{\theta}^{\;\alpha n +1}}{\alpha n +1} \right]_0^{\theta}=\\ &\\ &\\ &\frac{n \alpha}{\theta^{\alpha n}}·\frac{\theta^{\alpha n+1}}{\alpha n +1} = \frac{\alpha n \theta}{\alpha n +1}\end{align}$$

Luego es segado porque la esperanza no es theta.

b) El múltiplo es

$$\frac{\alpha n+1}{\alpha n}$$

Con eso se consigue que la esperanza sea theta

c)

$$\begin{align}&MSE(\widehat{\theta})=E[(\widehat{\theta}-\theta)^2]=\\ &\\ &E\left[\left(\frac{\alpha n \theta}{\alpha n +1}-\theta  \right)^2\right]= E \left( \frac{\theta^2}{(\alpha n+1)^2} \right)=\frac{\theta^2}{(\alpha n+1)^2}\end{align}$$

Y eso es todo.