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3.55) De esa técnica no tenía ni idea.
Primero calculemos E{Y(Y-1)(Y-2)} de forma similar a como lo hacen en el libro.
Pero esas expresiones son muy complicadas de escribir. SU(y=a, b) sera sumatorio desde y=a hasta b. La letra primera de queso no no es sirve por que el corrector la transforma usaremos r en su lugar y parta que se entienda mejor llevamos el cociente al final del todo
E{Y(Y-1)(Y-2)} = SU(y=0,n) de y(y-1)(y-2)(p^y)(r^(n-y))n!/[y!(n-y)!]
Para y=0,1,2 eso vale cero, luego los eliminamos y simplificamos el y! Del denominador
E{Y(Y-1)(Y-2)} = SU(y=3,n) de (p^y)(r^(n-y))n!/[(y-3)!(n-y)!] =
Del n! Sacamos factor común n(n-1)(n-2) fuera del sumatorio. Sacamos también p^3 de p^(y) fuera del sumatorio
= n(n-1)(n-2)(p^3) SU(y=3,n) de [p^(y-3)][r^(n-y)](n-3)!/[(y-3)!(n-y)!] =
Ahora llamamos z = y-3 y sustituimos
= n(n-1)(n-2)(p^3) SU(z=0,n-3) de (p^z )[r^(n-3-z)](n-3)!/[z!(n-3-z)!] =
Que se entiende muy poco pero es esto
= n(n-1)(n-2)(p^3) SU(z=0,n-3) de [(n-3) sobre z](p^z)[r^(n-3-z)]
Y los términos de es sumatorio son todos los de la probabilidad de una binomial de n-3 elementos, luego el sumatorio es 1. Por lo que al final queda
E{Y(Y-1)(Y-2)} = n(n-1)(n-2)p^3
Y el problema decía que
E{Y(Y-1)(Y-2)} = E(Y^3)-3E(Y^2)+2E(Y)
luego
E(Y^3) = E{Y(Y-1)(Y-2)} + 3E(Y^2) - 2E(Y)
El primer sumando lo acabamos de calcular, E(Y^2) está calculado en ese teorema 3.7 y E(Y) es la media(mu) cuyo valor es np
E(Y^3) = n(n-1)(n-2)p^3 + 3[n(n-1)p^2 + np] - 2np =
n(n-1)(n-2)p^3 + 3n(n-1)p^2 + np
Y si no me he equivocado es eso. Muy completo, complicado y difícil de escribir este problema. Estoy cansado y además tengo que dejarlo ahora unas horas el ordenador.
Te lo mando ya y lo puntúas. Luego manda de nuevo los ejercicios 3.56 y 3.57 para que los resuelva en otra pregunta distinta.
