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4.111)
a)
No es difícil pero es un lío escribirlo con este editor y que quede entendible. En la página 187 lo tienes resuelto para a=1 y a=2. Fíjate en esa página para enterarte un poco.
Todo se basa en la línea donde pone:
[$(y^(a-1)e^(-y·B) dy] entre 0 e infinito = (B^a)Gamma(a)
Donde B=Beta y a=alfa
ello nos permitirá calcular muy sencillamente las esperanzas pedidas.
VAYA, el libro usa la letra a que yo uso para representar al parámetro alfa. Pues yo no lo cambio, usare la n en vez da la a del libro. Si es que es un rollo que no funcionen aquí las letras griegas.
E(Y^n) = ${(y^n)·[y^(a-1)e^(-y/B)] / [B^a·Gamma(a)]} dy entre 0 e infinito =
{1/ [B^a·Gamma(a)]} · $y^(a-1+n)·e^(-y/B) dy entre 0 e infinito =
Pero esta integral es como la de la línea esa que decía arriba, salvo que en vez de poner (a-1) como exponente de la y pone (a-1+n). Si habíamos conseguido que esa integral fuera una función del exponente ese más 1, podemos poner nuestra integral como esa función del exponente que tenemos ahora más 1. Luego:
= {1/ [B^a·Gamma(a)]} · [B^(a+n)·Gamma(a+n)] =
(B^n)Gamma(a+n) /Gamma(a)=
Vamos a ponerlo como en el libro para que veas que es lo mismo, recuerdo que hay que cambiar
a=alfa
n=a
La B la dejo igual, significa Beta
= (B^n)Gamma(alfa+a)/Gamma(alfa)
Y ahora ya se parece más y vaya lío tre habré montado.
b) Pues no sé el porqué. Cuando habla de la función Gamma no dice que tenga que tener argumento positivo. Mirando en la wikipedia
http://es.wikipedia.org/wiki/Función_gamma
Dice que la función Gamma se puede extender a todo el plano complejo excepto a los números enteros negativos y al cero.
Luego bastaría con haber dicho que no tomara esos valores prohibidos.
Si la hay, es una razón que se me escapa.
c) Basta con poner a=1 en la fórmula
E(Y) = (B^1)Gamma(alfa+1)/Gamma(alfa) = B·alfa
El último paso se deduce de que Gamma(x) = (x-1)Gamma(x-1), luego Gamma(alfa+1)/Gamma(alfa) =alfa
d) Pues ahora donde pone a ponemos 1/2 que es el exponente de la raíz cuadrada
E[Y^(1/2)] = B^(1/2)Gamma(alfa+1/2)/Gamma(alfa)
Pues si no puede haber función Gamma de argumento nulo o negativo se tendrá que pedir que alfa > 0
e)
Usaremos en algunos sitios que Gamma(x) = (x-1)·Gamma(x-1)
En E(1/Y) se sustituirá a por -1
E(1/Y) = B^(-1)·Gamma(alfa-1)/Gamma(alfa) = 1/[B(alfa-1)]
Se pedirá que alfa>1
En E[1/Y^(1/2)] sustituímos a por(-1/2)
E[1/Y^(1/2)] = B^(-1/2)Gamma(alfa-1/2)/Gamma(alfa)
Si se quiere se pone B en el denominador con exponente positivo, pero tampoco es necesario. Aquí se pedirá alfa > 1/2
En E[1/Y^2] Sustituimos a por -2
E[1/Y^2] = B^(-2)Gamma(alfa-2) / Gamma(alfa) =
Aquí hay que aplicar que
Gamma(alfa) = (alfa-1)Gamma(alfa-1) = (alfa-1)(alfa-2)Gamma(alfa-2)
Y con todo eso queda
E[1/Y^2] = 1/[(B^2)(alfa-1)(alfa-2)
Y se pide que alfa>2
Y eso es todo.
