Estadística matemática con aplicaciones 5.23

a) La función de densidad marginal para una variable es la integral respecto de la variable contraria:

$$f_2(y_2) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(y_1,y_2)dy_1$$

Tenemos que hallar los límites para y1 del intervalo donde la probabilidad no es nula, expresando estos límites en función de y2

Se debe cumplir

0 <= y2 <= y1 <= 1

Luego y1 debe ser mayor que y2 y menor que 1

y1 € [y2, 1]

$$f_2(y_2) = \int_{y_2}^{1}3y_1dy_1= \left[ \frac{3y_1^2}{2}= \right]_{y_2}^1=\frac{3(1-y_2^2)}{2}$$

Y todo esto en el intervalo y2 €[0, 1], fuera de él vale 0

b) La probabilidad condicional es un cociente de probabilidades, y este estará definido donde el denominador tenga valor distinto de cero. Como el denominador es una probabilidad, estará definida donde sea mayor que cero e indefinida donde el denominador sea 0

El denominador es la probabilidad marginal de y2, que casualmente se calculaba en el apartado a)

y esa probabilidad marginal es

(3/2)[1-(y2)^2]

que es cero para los valores y2=1, y2=-1. Aparte, todo lo que no sea el intervalo [0, 1] tiene función de densidad marginal nula. Y y1 debe ser mayor o igual que y2

Luego f(y1 | y2) está definida en y2 € [0, 1); y1 >= y2

c) Probabilidad de que se venda más de la mitad dado que se abasteció 3/4 del tanque.

Y1 es la proporción de tanque que se abastece, Y2 la que se vende.

La función de densidad

f(y2 | y1) = f(y1,y2) / f1(y1)

La f1 es la que no habíamos calculado.

Habrá que calcular los límites de integración para y2

como 0=y2<=y1<=1

y2 puede tomar cualquier valor entre 0 e y1

$$\begin{align}&f1(y_1) = \int_0^{y_1} 3y_1dy_2= [3y1y2]_0^{y_1}= 3y_1^2\\ &\\ &\\ &f(y_2|y_1) = 3y_1/3y_1^2 = \frac{1}{y_1}\\ &\\ &\\ &P(Y_2>0.5 \;|\;Y_1=0.75)=\int_{1/2}^{3/4}\frac{dy_2}{\left(\frac 34 \right)}=\\ &\\ &\\ &\frac 43\left[  y_2\right]_{1/2}^{3/4}=\frac 43 \frac 34-\frac 43 \frac 12=1-\frac 23=\frac 13\end{align}$$

Y eso es todo.