Derivadas de funciones complejas
Dada la
$$f(z)=(2-i)z^2+(3-2i)z$$
Mostrar que sus componentes satisfacen las ecuaciones de Cauchy Rieman en C
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Pongamos f(z) = u(x,y) + iv(x,y)
f(z) = (2-i)(x+iy)^2 + (3-2i)(x+iy) =
(2-i)(x^2 - y^2 + 2ixy) + 3x + 3iy - 2ix + 2y =
2x^2 - 2y^2 + 4ixy - ix^2 + iy^2 + 2xy + 3x + 3iy - 2ix + 2y =
2x^2 - 2y^2 + 2xy + 3x + 2y+ i(4xy - x^2 + y^2 + 3y - 2x)
Luego
u(x,y) = 2x^2 - 2y^2 + 2xy + 3x + 2y
v(x,y) = 4xy - x^2 + y^2 + 3y - 2x
Y las condiciones de Cauchy son unas igualdades de derivadas parciales
1) Ux =Vy
4x +2y+3 =4x + 2y +3
se cumple
2) Vx =-Uy
4y - 2x - 2 = -(-4y + 2x+2) = 4y -2x -2
Se cumple
Luego se cumplen las condiciones.
Y eso es todo.
