Estadística matemática con aplicaciones 5.54

Todas estas funciones donde los límites de integración no son independientes suelen dar variables dependientes, pero vamos a comprobarlo. Veremos si la función de densidad conjunta es el producto de las marginales.

Lo más difícil en este caso será hallar los límites de las integrales, muchas veces no queda más remedio que hacer el dibujo del dominio de integración. En este caso tenemos un triangulo de base 2 y altura 1 por debajo de la diagonal que pasa por el origen.

$$\begin{align}&f_1(y_1)=\int_0^{y_1/2}dy_2=[y_2]_0^{y_1/2} = \frac{y_1}{2}\\ &\\ &\\ &\\ &f_2(y_2)=\int_0^{2y_2}dy_1=[y_1]_0^{2y_2}=2y_2\\ &\\ &\\ &f_1(y_1)f_2(y_2)= y_1y_2\end{align}$$

Y eso es distinto de la función de densidad que es 1. Luego las variables no son independientes.

Y eso es todo.