Calculo Diferencial: Problemas de Optimización

Solo se permite varios en ejercicios si son muy simples.

La teoría dice que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto. Luego la función derivada es "una lista" de todas las pendientes de las rectas tangentes a la función. Para calcular el mínimo de la función derivada la tenemos que derivar e igualar a cero. Luego hay que hallar los ceros de la derivada segunda.

y' = 3x^2 - 4x + 5

y'' = 6x - 4

6x - 4 = 0

6x = 4

x = 4/6 = 2/3

Debemos asegurarnos que eso es ún mínimo, para ello hacemos la siguiente derivada

y'''=6

Y el valor de la derivada tercera es positivo para 2/3 (y para cualquier valor) luego el punto 2/3 es un mínimo.

Pues ya conocemos la pendiente y la recta tangente a la función f en un punto (xo, yo) se calcula con la fórmula

y = yo + f '(xo)(x-xo)

el punto tiene la primera coordenada xo=2/3 y la segunda es

yo = f(2/3) = (2/3)^3 - 2(2/3)^2 + 5(2/3) = 8/27 - 8/9 + 10/3 =

(8-24+90)/27 = 74/27

(xo, yo) = (2/3, 74/27)

f '(xo) = 3(2/3)^2 - 4(2/3) + 5 = 12/9 - 8/3 + 5 = (12 - 24 + 45)/9 =

33/9 = 11/3

Luego la ecuación es

y = 74/27 + (11/3)(x - 2/3) =

y = 74/27 + 11x/3 - 22/3

y = (74 - 9·22)/27 + 11x/3

y = 11x/3 - 124/27

Y si quieres ponerla de otra forma ya es cuestión de gustos.