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5.40)
¡Qué extraño, esta pregunta ya la contesté hace días pero aparece como no enviada! La mando de nuevo.
Siempre que aparece la distribución hipergeométrica me quedo en blanco, nunca me acuerdo cuál es, debe ser hipercomplicada de memorizar. Vale, ya lo he mirado.
Sigue sin funcionarme el editor de ecuaciones
P(Y1=y1 | W = w) = P(Y1=y1, W=w) / P(W=w)
como W = Y1+Y2 tenemos que la probabilidad del numerador es
P(Y1=y1, W=w) = P(Y1=y1; Y2= w-y1) =
C(n1,y1) · p^(y1) · (1-p)^(n1-y1) · C(n2,w-y1) · p^(w-y1) · (1-p)^(n2-w+y1) =
C(n1,y1) · C(n2,w-y1) · p^w · (1-p)^(n1+n2-w)
Y ahora vamos a calcular P(W=w).
En el enunciado nos ayudan a ello diciendo que W es una binomial de tamaño muestral n1+n2 y probabilidad p
P(W=w) = C(n1+n2, w) · p^w · (1-p)^(n1+n2-w)
Y el cociente es la probabilidad condicional
P(Y1=y1, W=w)=
C(n1,y1) · C(n2,w-y1) · p^w · (1-p)^(n1+n2-w) / [C(n1+n2, w) · p^w · (1-p)^(n1+n2-w)] =
C(n1,y1) · C(n2,w-y1) / C(n1+n2, w)
Si ponemos aquí la definición de distribución hipergeométrica de la pagina 126, podremos comparar.
p(y) = C(r,y) C(N-r, n-y) / (N, n)
Y e y1 son las variables el papel de una lo hace la otra a la perfección según vemos
Vamos a sustituir los valores que nos dan en el enunciado
N = n1+n2
n=w
r=n1
y=y1
y veremos que da lo que hemos calculado
p(y1) = C(n1,y1) C(n1+n2-n1, w-y1) / C(n1+n2, w) =
C(n1,y1) · C(n2, w-y1) / C(n1+n2, w)
Exacto, da exacta la probabilidad que calculamos de Y1 condicionada por W. Luego es una hipergeométrica con los parámetros que decían.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.
Un saludo.
sumatorio y1=0 hasta n1 de [C(n1, y1) · C(n1+n2, w) · p^(y1+w) · (1-p)^(2n1+n2-y1-w)]
C(N1+n2, w) es una constante que puede salir fuera del sumatorio
p^(Y1+w) se divide en dos factores p^(y1) · p^w, el segundo es una constante que puede salir fuera
(1-p)^(2n1+n2-y1-w) se divide en dos factores (1-p)^(n1-y1) · (1-p)^(n1+n2-w), el segundo también es una constante que puede salir.
Sacando fuera esas constantes tendremos:
p2(w)=C(n1+n2,w) · p^w · (1-p)^(n1+n2-w) · sumatorio en y1 de [C(n1,y1) ·p^y1·(1-p)^(n1-y1)]
Pero ese sumatorio es es el de la probabilidad de una distribución binomial, luego es 1, con lo que:
p2(w)=C(n1+n2,w) · p^w · (1-p)^(n1+n2-w)
Y vamos a calcular ya la probabilidad condicionada
p(y1 | w) = p(y1, w) / p2(w) =
[C(n1, y1) · C(n1+n2, w) · p^(y1+w) · (1-p)^(2n1+n2-y1-w)] /
[C(n1+n2,w) · p^w · (1-p)^(n1+n2-w)-] =
Hay varias cosas que se pueden simplificar
= C(n1,y1)
