Poner el piso a mi nombre

Hola, me he divorciado y hemos hecho la separación de gananciales. El piso me lo he quedado yo, y he preguntado en el registro, y me han dicho que tengo que pagar para ponerlo todo a mi nombre aunque la sentencia diga que es para mi.
Necesito que esté a mi nombre, para poder vender (a mi nueva pareja) la mitad (ponerla a su nombre) y agregarle a la hipoteca. El ponerlo a nombre de mi nueva pareja y del mio, es porque él también tiene un hijo (yo tengo 2), y no me gustaría que si me pasara algo, mi ex (al ser mis hijas menores), los pudiese echar a la calle. Además de que él también paga y es herencia para su hijo también.
La cuestión es que tenía entendido que al hacer la repartición de los bienes, no había que pagar nada en el registro... Pero me dicen que no es así y ya me estoy mareando.
¿Me lo puede explicar mejor para saber los pasos?. Muchísimas gracias. La crisis económica nos hace tener que mirar muy mucho y pelear por un euro.
Un saludo