¿Qué desventajas tiene el padre al otorgar la custodia a la madre? Sin estar casados

Guadalajara

Hola buenos días! Mi cuestionamiento es el siguiente: Mi pareja tiene una niña de 5 años con la pareja anterior (no están casados) y viven en ciudades diferentes. Él siempre ha procurado ir a ver a la niña (que tiene su apellido) tres o cuatro veces al año y la apoya económicamente en cuestiones de salud, escuela, etc. El punto es que desde siempre la mamá de la niña le ha generado muchos problemas a mi pareja tanto en la restricción de los tiempos para verla, en que sólo quiere que la vea en la casa materna y no sacarla, etc.

Nosotros estamos a punto de contraer matrimonio y con ello la situación se ha complicado, porque cree que la niña lo manejará mal y hasta insinúa que al enterarse la niña puede tener problemas psicológicos! Mi pareja esta muy estresado pero ha logrado mantener la comunicación al menos telefónicamente con la niña!

Ahora la mujer le ha llamado para decirle que quiere la custodia de la niña porque tiene miedo que él se la pueda llevar (cosa que él nunca haría). Nos gustaría saber cuáles son las ventajas y desventajas de darle la custodia, y en todo caso, si él no se la quiere dar, ¿cuáles son los problemas que podría generarle?