\int sec (3-x)... Integral con metodo de sustitución

$$\begin{align}&-\int{sec(u)tg(u)du}\\ & -\int{\frac{1}{\cos(u)}\frac{sen(u)}{\cos(u)}}du\\ & -\int{\frac{sen(u)}{\cos^2(u)}}du\\ & \\ & z=\cos(u)\\ & dz=-sen(u)du\\ & -dz=sen(u)du\\ & \\ & -\int{-\frac{dz}{z^2}}\\ & \int{\frac{dz}{z^2}}=-\frac{1}{z}=-\frac{1}{\cos(u)}=-sec(u)=-sec(3-x)\\ & \end{align}$$

$$\begin{align}&\int{sec(3-x)tg(3-x)}dx\\ &\\ &u=3-x\\ &du=-dx\\ &-du=dx\\ &\\ &Reemplazamos.\\ &\\ &\int{sec(u)tg(u)-du}\\ &-\int{sec(u)tg(u)du}=-sec(u)+c=-sec(3-x)+c\end{align}$$

La integral de sec(a)tg(a) es inmediata, la encontraras en cualquier tabla de integrales, en caso que quieras saber de donde aparece, te la explico.

$$\begin{align}&-\int{sec(u)tg(u)du}\\ &-\int{\frac{1}{\cos(u)}\frac{sen(u)}{\cos(u)}}du\\ &-\int{\frac{sen(u)}{\cos^2(u)}}du\\ &\\ &z=\cos(u)\\ &dz=-sen(u)du\\ &-dz=sen(u)du\\ &\\ &-\int{\frac{-dz}{z^2}}\\ &\int{\frac{dz}{z^2}}=-\frac{1}{z}=-\frac{1}{\cos(u)}=-sec(u)=-sec(3-x)\\ &\end{align}$$

Como vez no es complicado llegar, lo ideal es que aprendas algunas identidades trigonométricas, que son fundamentales para el estudio de integrales, pues mas adelante los métodos son aun mas complicados.

Es conocido por algunos de la derivada de la secante es

sec'(x) = sec(x)·tg(x)

Con lo cual esta integral sería casi inmediata y sería -sec(3-x) + C

Pero lo vamos a resolver de otra forma, para las personas como yo que solo sabíamos las derivadas del seno, coseno y tangente.

$$\begin{align}&\int sec(3-x)tg(3-x) dx=\int \frac{sen (3-x)}{\cos^2(3-x)}dx=\\ &\\ &t=\cos(3-x)\\ &dt = -sen(3-x)dx\\ &\\ &\int -\frac{dt}{t^2}= -\frac 1t + C = -\frac{1}{\cos(3-x)}+C =\\ &\\ &-sec(3-x) + C \end{align}$$

Y eso es todo.