Convergencia Absoluta y convergencia condicional

Usemos el criterio de d'Alambert para ver si es absolutamente convergente, quitamos el (-1)^n ya que la tangente de números positivos cercanos a 0 es positiva

$$\begin{align}&\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{tg\left(\frac 1{n+1}  \right)}{tg\left(\frac 1{n}  \right)}\\ &\\ &n+1\gt n \implies \frac{1}{n+1}\lt \frac 1n\implies\\ &\\ &tg\left(\frac 1{n+1}  \right)\lt tg\left(\frac 1{n}  \right)\implies\\ &\\ &\frac{tg\left(\frac 1{n+1}  \right)}{tg\left(\frac 1{n}  \right)}\lt 1  \implies\\ &\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{tg\left(\frac 1{n+1}  \right)}{tg\left(\frac 1{n}  \right)}\lt1\end{align}$$

Y cuando ese límite es menor que 1 la serie es convergente.

Luego la serie es absolutamente convergente.

Y eso es todo.

El sistema dice que esta pregunta no está puntuada, puntúala por favor para ver si se da por enterado.