¿Cómo se demuestra que la función logarítmica es inyectiva?
Hola Valero
La verdad es que siempre he tenido esa duda y no sé como se podría demostrar. Sólo se me ocurre lo siguiente: f(x) = ln(x) => f'(x) = 1/x, como su dominio es (0; +inf] vemos que f'(x) > 0, por lo que siempre será creciente, o sea es una función monótona y ¿ya con eso puedo decir que es inyectiva?.
También tengo otra duda, siempre se dice que Lim x.>+inf ln(x) = +inf. Eso graficamente es obvio, ¿pero analiticamente se puede demostrar eso?
Espero su ayuda Valero.
1 respuesta
Esa es la forma de demostrarlo por la derivada, pero no es necesario, se demuestra así de sencillo
log x = log y ==> e^(log x) = e^(logy) ==> x = y
Con lo cual la función es inyectiva.
Vaya, he supuesto que eran neperianos, pero da lo mismo, en vez de e pones la base de los logaritmos y es la misma operación
Hay que tomar la definición de límite infinito en el infinito
lim x-->oo logx = oo <==> para todo K > 0 existe un M>0 tal que si x > M ==> logx > K
Entonces dado un K tu tomas el número M=e^K (o la base que sea elevada a la K)
si x > e^K ==> log x > log e^K = K
Y con eso queda demostrado.
Pero todo esto se basa en que los logaritmos son monotono crecientes, tal vez haría falta demostrar eso.
Supongamos que es falso
siendo x<y sucede logx >= logy
e^logx >= e^logy
x>=y
Absurdo.
Y claro, esto se basa en que la exponencial es creciente. Pues tomemos ya que la derivada de e^x es e^x, siempre positiva y por lo tanto e^x es creciente.
Y eso es todo, espeo que te sirva y lo hayas entendido.
