Problemas del desarrollo de una serie
- Encuentra el desarrollo de la serie de Laurent de la función:
$$\begin{align}&f(z)=e^(1/z)\end{align}$$Sobre el dominio de convergencia:$$\begin{align}&0<|z|<∞\end{align}$$La primer fórmula es f(z)= e elevada a (1/z)
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Amo Mo!
La función e^(1/z) es holomorfa salvo en z=0 por lo cual admite una serie de McLaurin en 0 < |z| < oo a partir de la cual podemos obtener la serie de Laurent
Dada f(w)=e^w su fórmula de Mclaurin es
f(w)
$$\begin{align}&f(w)=\sum_{n=0}^\infty \frac{w^n}{n!}\\ & siendo\; w=\frac 1z \;tendremos\\ & \\ & e^{1/z}=\sum_{n=0}^\infty \frac 1{n!}·\frac{1}{z^n}\\ &\\ &\text{esta será la parte negativa de la serie de Laurent}\\ &\\ &e^{1/z}=\sum_{n=0}^\infty \frac {z^{-n}}{n!}\\ &\\ &\text{mientras que la positiva seria todo ceros}\\ &\\ &\sum_{n=1}^{\infty}\;0·z^n\\ &\\ &\text{En otros libros usan otra notación y habria que escribir}\\ &\\ &e^{1/z} =\sum_{-\infty}^0 \frac{z^n}{|n|!} + \sum_{n=1}^{\infty}\;0·z^n\\ &\end{align}$$Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Pásame la teoría.
