¿Cómo puedo resolver el siguiente problema de raíces?
Hola Valero.
Estoy en Compleja, tengo que sacar las raíces quintas de 2 + 2i.
Sea z = 2 + 2i. Entonces |z| = sqrt(8) y arg(z) = A = pi/4
Las raíces son wk, donde k = {1, ..., 4}.
wk = 8^(1/10) e^[(pi/4 + 2kpi)/5]i
En caso de que se pueda, tenemos que pasar de la forma exponencial o polar, a la forma rectangular, pero veo que es difícil, ya que los ángulos para cada que no son conocidos. Entonces así lo dejaré. ¿Tendré algún error? ¿O hasta aquí voy bien?
Espero su respuesta Valero, gracias de antemano.
1 respuesta
La primera línea está bien
En la segunda se te ha olvidado poner que k=0 también sirve k={0,1,2,3,4]
La tercera nunca me la he plantedo así ya que yo lo hacía en forma polar, pero déjame que lovea para ver si esta bien.
Si, está bien, pero se puede hacer con un poco de picardía para no tener que hacer divisiones en cada raíz que calculas, la forma de de ahoorar cuentas es
pi/20 + (2pi/5)·k con k=0,1,2,3,4
Con esto es que no siquiera hace falta que hagas multiplicaciones, el ángulo de cada raíz es simplemente el anterior sumándole la cantidad fija 2pi/5. Mucho más sencillo esto que hacer una multiplicación, luego una suma y después una división.
Con esto calcularíamos el primer ángulo
arg(w0) = pi/20
El añadido será 2pi/5, lo ponemos con denominador 20 para facilitar la suma 8pi/20 y ahora vamos sumando
arg(w1) = pi/20 + 8pi/20 = 9pi/20
y ahora ni si siquiera pongo lo que se suma, es siempre 8pi/20
arg(w2) = 17pi/20
arg(w3) = 25pi/20
arg(w4) = 33pi/20
El módulo de todas ellas es |wk| = 8^(1/10)
Con esto las tienes todas puestas en forma polar
Las puedes poner en forma exponencial si quieres
w0 = 8^(1/10)·e^(i·pi/20)
w1 = 8^(1/10)·e^(9i·pi/20)
etc
Y si quieres ponerlas en forma binómica es
w0 = 8^(1/10)cos(pi/20) + i·8^(1/10)·sen(pi/20)
w1 = 8^(1/10)cos(9pi/20) + i·8^(1/10)·sen(9pi/20)
Etc.
Y eso es todo.
