Ayudenme con este problema de ecuaciones diferenciales
Muy buenas tarde por favor alguien me podría ayudar y decirme paso a paso de como podría resolverlo se los agradeceré el tema es el factor integrante
x(dy/dx)-4y=x^6e^x
Esa es la escuacion se lo agradeceré enserio si me podrían explicar paso por paso
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Pongamos la ecuación de la forma habitual
Mdx + Ndy = 0
x(dy/dx) = 4y + x^6·e^x
xdy = (4y + x^6·e^x)dx
(4y + x^6·e^x)dx - xdy = 0
Las derivadas son
My = 4
Nx = -1
Luego no es exacta.
Hay factor integrante en varios casos, uno de ellos es si
(My - Nx) / N no depende de y
en nuestro casoes
(4+1)/(-x) = -5/x que no depende de y
Y el factor integrante es e elevado a la inegral de esto respecto de x
$$\begin{align}&\mu=e^{\int \frac{-5}{x}dx}= e^{-5lnx}=e^{ln x^{-5}}= x^{-5} = \frac 1{x^5}\\ &\\ &\text {luego la ecuación queda}\\ &\\ &\left(\frac{4y}{x^5}+xe^x\right)dx - \frac{1}{x^4}dy=0\\ &\\ &M_y=\frac{4}{x^5}\\ &\\ &N_x=-(-4)x^{-5}= \frac{4}{x^5}\\ &\\ &\text {luego ahora es exacta}\\ &\\ &\text{Integramos N respecto de y}\\ &\\ &u=\int -\frac{dy}{x^4}= -\frac{y}{x^4} + \varphi(x)\\ &\\ &\text{derivamos respecto a x e igualamos a M}\\ &\\ &\frac{du}{dx}=\frac{4y}{x^5}+\varphi'(x)=\frac{4y}{x^5}+xe^x\\ &\\ &\varphi'(x)=xe^x\\ &\\ &\varphi(x)=\int xe^xdx=\\ &\\ &\text{esta u es otra, es que siempre se usan u y v}\\ &\text{en las integrales por partes, sería un caos cambiarlas}\\ &u= x\quad\quad\quad du =dx\\ &dv=e^xdx\quad v=e^x dx\\ &\\ &=xe^x-\int e^x dx = xe^x- e^x \\ &\\ &\text{Luego la función u(x,y) es}\\ &\\ &u= -\frac{y}{x^4}+xe^x-e^x\\ &\\ &\text{y la solucion general es u=C}\\ &\\ &-\frac{y}{x^4}+xe^x-e^x= C\\ &\\ &-\frac {y}{x^4}= C+e^x(1-x)\\ &\\ &y= Cx^4 + e^x(x^5-x^4)\end{align}$$
