¿Pueden demostrar la siguientes identidades?
Hola que tal no es mucha molestia si alguien pueda ayudarme a demostrar las siguientes identidades? Saludos y buen día!!
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Todo comienza con la fórmula
$$\begin{align}&\cos(x+y)=cosx·cosy - senx·seny\\&\\&si\quad x=y\implies\\&\\&\cos 2x = \cos^2x - sen^2y\\&\\&\text {sumamos 1 en los dos lados}\\&\\&1+ \cos 2x = \cos^2x + 1-sen^2x\\&\\&1+ \cos 2x = \cos^2x + \cos^2x\\&\\&1+\cos 2x = 2cos^2x\\&\\&2 \cos^2x=1+ \cos 2x\\&\\&\cos^2x = \frac{1+\cos 2x}{2}\\&\\&\cos x = \pm \sqrt{\frac{1+\cos 2x}{2}}\end{align}$$Y ahora lo único que hay que hacer es sustituir x por x/2 y queda
$$\begin{align}&\cos \left(\frac x2\right) = \pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}\end{align}$$Y para la otra fórmula se hace lo mismo, lo único que en vez de sumar ese 1 lo restaremos.
$$\begin{align}&\cos 2x = \cos^2x - sen^2y\\&\\&\text {restamos 1 en los dos lados}\\&\\&-1+ \cos 2x = \cos^2x - 1-sen^2x\\&\\&-1+ \cos 2x = -sen^2x - sen^2x\\&\\&-1+\cos 2x = -2sen^2x\\&\\&2 sen^2x=1- \cos 2x\\&\\&sen^2x = \frac{1-\cos 2x}{2}\\&\\&sen x = \pm \sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}}\\&\\&\text{y sustituyendo x por x/2}\\&\\&sen\left( \frac x2\right) = \pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}\\&\end{align}$$Y eso es todo.
