Considerando la funcion tanh x demuestre que: ¿Tanhx^-1 x=1/2ln[1+x/1-x]?

1º Ponemos la definición del tanhx

2º Intercambiamos x por y (para obtener la inversa)

3º Despejamos y

$$\begin{align}&y=tanhx=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\\&\\&x= \frac{e^y-e^{-y}}{e^y+e^{-y}}= \frac{e^y- \frac{1}{e^y}}{e^y+\frac{1}{e^y}}= \frac{e^{2y}-1}{e^{2y}+1}\\&\\&Despejemos \ y\\&x(e^{2y}+1)=e^{2y}-1\\&xe^{2y}+x=e^{2y}-1\\&\\&xe^{2y}+x-e^{2y}+1=0\\&e^{2y}(x-1)+1+x=0\\&e^{2y}(x-1)=-1-x\\&\\&e^{2y}=\frac{-1-x}{x-1}\\&\\&e^{2y}=\frac{1+x}{1-x}\\&\\&2y=ln \frac{1+x}{1-x}\\&\\&y=\frac{1}{2} ln \frac{1+x}{1-x}\\&\\&tanh^{-1}x=\frac{1}{2} ln \frac{1+x}{1-x}\\&\\&\\&\end{align}$$