Su apoyo en ejercicios de integrales 2
anexo imagen para mayor referencia, gracias por su apoyo. Saludos
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$$\begin{align}&d)\quad \int \frac{8x\;dx}{3 \sqrt[3]{7-2x^2}}=\\&\\&t=7-2x^2\\&dt=-4x\,dx\implies x\,dx=-\frac 14dt\\&\\&=\frac 83\int-\frac 14·\frac{1}{\sqrt[3]t}dt\\&\\&-\frac{2}{3}\int t^{-1/3}dt=\\&\\&-\frac 23 ·\frac{t^{2/3}}{\frac 23}+C=-t^{2/3}+C=\\&\\&-(7-2x^2)^{2/3}+C = \\&\\&-\sqrt[3]{(7-2x^2)^2}+C\end{align}$$¡Hola Carlitos!
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Haremos el cambio de limites de integración a la vez que el cambio de variable, de esta forma no se tiene que revertir el cambio.
$$\begin{align}&c)\quad \int_0^1 7x \sqrt{4-x^2}dx=\\&\\&t =4-x^2\\&dt=-2x\,dx\implies x\,dx=-\frac 12dt\\&x=0\implies t=4-0^2=4\\&x=1\implies t=4-1^2=3\\&\\&=7\int_4^3-\frac 12·\sqrt t\;dt=\\&\\&-\frac 72\int_4^3t^{1/2}dt =\\&\\&\left. -\frac 72·\frac{t^{3/2}}{\frac 32} \right|_4^3=\left.-\frac 73 t^{3/2}\right|_4^3=\\&\\&-\frac 73\left(3^{3/2}-4^{3/2} \right)=\\&\\&-\frac 73\left(\sqrt{27}-\sqrt{64}\right)=\\&\\&\frac 73(8-3 \sqrt{3})\\&\end{align}$$Y eso es todo.
Hola Sr Valero tengo una duda en el ejercicio c, no cambia el resultado el hecho de que el dx se encuentre dentro de la división en el ejercicio que usted muy amablemente resolvió, a el dx que esta fuera de la división del ejemplo
Perdón es en el ejercicio D
No, no afecta al resultado. Se puede escribir de las dos formas, alguna vez lo pongo así porque queda más claro que
X dx debe cambiarse por (1/2) dt
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El dx es el diferencial de x, es un simbolo utilizado para designar la longitud de un intervalo infinitesimal (pequeñísimo) que debe multiplicarse por el valor de la función en varios puntos del intervalo de integración, por lo tanto dx multiplica a lo anterior y puede ponerse tanto detrás como en el numerador.
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