Me colaboran con este ejercicio de calculo integral.

·

El valor promedio es la integral en el intervalo dividida entre la longitud de este.

Calculemos la integral.

$$\begin{align}&\int _0^2x^2 \sqrt{1+x^3}dx =\\&\\&t=1+x^3\\&dt=3x^2dx\implies x^2dx=\frac{1}{3}dt\\&x=0\implies t=1+0^3=1\\&x=2\implies t=1+2^3=9\\&\\&=\int_1^9 \frac 13 \sqrt{t}dt=\\&\\&\frac 13\int_1^9 t^{1/2}dt=\\&\\&\left.\frac 13 \frac{t^{3/2}}{\frac 32}\right|_1^9=\left.\frac 29 t^{3/2}\right|_1^9=\\&\\&\frac 29(\sqrt{729}-1)= \frac 29(27-1)=\frac {52}9\\&\\&\text{Y el promedio cuya fórmula es}\\&\\&promedio=\frac{\int_a^b f(x)dx}{b-a}\\&\\&\text{en este caso será}\\&\\&promedio=\frac{ \frac{52}{9}}{2-0}=\frac {52}{18}=\frac{26}{9}\\&\end{align}$$

Y eso es todo.

Por el Teorema del Valor Medio del Calculo Integral

$$\begin{align}&\int_a^bf(x)=f(c)(b-a)\end{align}$$

Luego:

$$\begin{align}&\int x^2(1+x^3)^{\frac{1}{2}}dx=\\&\int \frac{3}{3}x^2(1+x^3)^{\frac{1}{2}}dx=\\&\\&\frac{1}{3} \int 3x^2(1+x^3)^{\frac{1}{2}}dx=\\&\frac{1}{3} \frac{(1+x^3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{9}\sqrt{(1+x^3)}^3\\&\\&\int_0^2 f(x)=f(c)(2-0)\\&\\&\int_0^2 f(x)=\frac {2}{9}[\sqrt 9- \sqrt 1]=\frac{4}{9}\\&\\&\frac{4}{9}=f(c)·2\\&\\&f(c)=\frac{2}{9}\end{align}$$