Como resuelvo integral por sustitución?
$$\begin{align}&∫_2^6▒x/√(5x^2+1) dx\end{align}$$como resuelvo esta integral por sustitución. Ya que no recuerdo como hacerla por la raiz
3 Respuestas
Respuesta
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Te dejo el planteo
$$\begin{align}&\int {x \over \sqrt{5x^2+1}}dx\\&sustitución \; u=5x^2+1\\&du = 10x\\&\int {10du \over \sqrt{u}}= 10 \int u^{-1/2}du=10 {u^{1/2} \over {1 \over 2}} = 20 * \sqrt{u} = \\&20*\sqrt{5x^2+1}\end{align}$$
La respuesta de Lucas pues cometí un error en la sustitución...
Respuesta de Lucas m
Elideth Robles!
$$\begin{align}&5x^2+1=t\\&\\&10xdx=dt\\&\\&xdx=\frac{dt}{10}\\&\\&\int_2^6 \frac{x}{\sqrt{5x^2+1}}dx=\\&\\&\int t^{-\frac{1}{2}} \frac{dt}{10}=\frac{1}{10} t^{\frac{1}2}·\frac{1}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{5} \sqrt t=\\&\\&\frac{1}{5} \sqrt {5x^2+1} \ |_2^6=\frac{1}{5}[\sqrt {181}-\sqrt{21}]\end{align}$$
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Veo que uno no la terminó y otro hizo la evaluación deshaciendo el cambio. Yo lo haré con el cambio de límites de integración a la vez que se cambia de variable, ya que después no es preciso deshacer el cambio y en ningún momento se miente en la cadena de igualdades. Es el método ortodoxo de resolver integrales definidas con cambio de variable.
$$\begin{align}&\int_2^6 \frac{x}{\sqrt{5x^2+1}} dx=\\&\\&t=5x^2+1\\&dt = 10x\, dx\implies x\,dx=\frac 1{10}dt\\&\\&x=2\implies t=5·2^2+1=21\\&x=6\implies t=5·6^2+1=181\\&\\&=\int_{21}^{181}\frac 1{10}·\frac{1}{\sqrt t}dt=\\&\\&\frac 1{10}\int_{21}^{181}t^{-1/2}dt =\\&\\&\left. \frac 1{10}\frac {t^{1/2}}{\frac 12} \right|_{21}^{181}=\left. \frac 15 \sqrt t\; \right|_{21}^{181}=\\&\\&\\&\frac{\sqrt{181}-\sqrt{21}}{5}\end{align}$$Y eso es todo.