El costo marginal de cierta Pyme está dada por la expresión 𝐶′(𝑞) = 15.7 − 0.002𝑞

Esta pregunta ya fue formulada, te dejo el link

http://www.todoexpertos.com/preguntas/5srxgr9lplinqo5k/su-valioso-apoyo-siguiente-ejercicio-a-solucionar?selectedanswerid=5ss5el3qwu5sw9ey

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Si, ya fue respondida, te dejo aquí mi respuesta separada.

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a) Imagino que lo que quieren preguntar es el incremento de la utilidad cuando las

Ventas se incrementan de 500 a 600 unidades.

Primero calculamos el ingreso y los costos integrando. Las constantes de integración no son importantes ya que como vamos a calcular un incremento se simplificarían en la resta.

$$\begin{align}&C(q) = \int (15.7-0.002q)dq=15.7q-0.001q^2\\&\\&I(q) = \int (22-0.004q)dq = 22q - 0.002q^2\\&\\&U(q) = 22q - 0.002q^2 - (15.7q-0.001q^2)\\&\\&U(q) = 6.3q -0.001q^2\\&\\&Incremento \;U=U(600)-U(500)=\\&\\&6.3·600 - 0.001·600^2-6.3·500+0.001·500^2=\\&\\&6.3·100-0.001·(360000-250000)=\\&\\&630-0.001(110000) =\\&\\&630-110 = 520\end{align}$$

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b)

Si el costo fijo es 100 la función de costos es

C(q) = 15.7q - 0.001q^2 + 100

y si la constante de los ingresos es cero será la fución antes calculada

I(q) =  22q - 0.002q^2

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c)

La cantidades de equilibrio serán las que igualen las funciones costo e ingreso.

15.7q - 0.001q^2 + 100 = 22q - 0.002q^2

0.001q^2 - 6.3q + 100 = 0

$$\begin{align}&q=\frac{6.3\pm \sqrt{6.3^2-4·0.001·100}}{0.002}=\\&\\&\frac{6.3\pm \sqrt{39.69-0.4}}{0.002}=\\&\\&\frac{6.3\pm \sqrt{39.29}}{0.002}=\\&\\&\frac{6.3\pm 6.024118192731613}{0.002}\\&\\&q_1=137.9409036341932\\&q_2=6162.059096365807\\&\end{align}$$

Y esas son las dos cantidades de equilibrio.

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Y eso es todo.