¿Como calcular las siguientes integrales?

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Son demasiados ejercicios. En los de integrales estamos respondiendo un máximo de dos ejercicios por pregunta. Resolveré las dos primeras por cambio de variable.

$$\begin{align}&\int 2x^2(7-3x^3)^5dx=\\&\\&t=7-3x^3\\&dt=-9x^2\,dx\implies x^2\,dx=-\frac 19dt\\&\\&=2·\left(-\frac 19  \right)\int t^5dt=\\&\\&-\frac 29·\frac{t^6}{6}+C=\\&\\&-\frac{(7-3x^3)^6}{27}+C\\&\\&\\&-----------------\\&\\&\int \frac{7x}{4x^2-8}dx=\\&\\&t=4x^2-8\\&dt=8x\,dx \implies x\,dx=\frac 18dt\\&\\&=\int \frac{7}{t}·\frac 18dt=\\&\\&\frac 78\int \frac{dt}{t}= \frac{7}{8}ln\,t+C=\\&\\&\frac{7}{8}ln(4x^2-8)+C\end{align}$$

En general respondemos 2 ó 3 por preguntas,

Te dejo e) y f)

$$\begin{align}&e.\\&\int_0^3 1/2x^3-2x^2+x+3 \ dx=\\&{x^4 \over 2*4}-{2x^3 \over 3}+{x^2 \over 2}+3x \Big|_0^3=\\&({3^4 \over 8}-{2*3^3 \over 3}+{3^2 \over 2}+3*3 )-(0) = {45 \ 8}=5,625\\&...\\&f.\\&\int_2^6 {x \over \sqrt{5x^2+1}}\ dx=\\&sustitución \ u=5x^2+1\\&du=10x\ dx\\&{du \over 10} = x\ dx\\&x=2 \rightarrow u = 5*2^2+1=21\\&x=6 \rightarrow u = 5*6^2+1=181\\&\int_{21}^{181} {du \over 10 \ \sqrt{u}}=\\&{1 \over 10} \int_{21}^{181} u^{-1/2} du =\\&{1 \over 10} {u^{1/2} \over {1 \over 2}} \Big|_{21}^{181}=\\&{1 \over 5} \sqrt{u} \Big|_{21}^{181} = {1 \over 5} (\sqrt{181}- \sqrt{21}) \approx 1,77\\&\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$