¿Cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones?

La función de probabilidad que estás buscando es una Binomial con valor p=0,25 (1/4).

La binomial tiene la siguiente forma

$$\begin{align}&p(x)= {n \choose x}p^x(1-p)^{n-x}={n! \over x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x}\\&Donde:\\&n:\ cantidad\ de\ sucesos\ (en\ tu\ caso\ 10)\\&x:\ evento\ que\ se\ quiere\ evaluar\ (en\ tu\ caso\ 3)\\&p:\ probabilidad\ que\ ocurra\ el\ evento\ (en\ tu\ caso\ 0,25)\\&\\&Luego\\&p(3) ={10 \choose 3}0,25^3(1-0,25)^{10-3}={10! \over 3!(10-3)!}0,25^3(1-0,25)^{10-3}=0,25028\\& \\&\end{align}$$

La probabilidad que acierte por lo menos en una ocación, es la probabilidad que acierte en 1, que acierte en 2,...y así hasta 10. Pero como te imaginarás, es más fácil de calcular la probabilidad de que no acierte ningún tiro y restárselo al total (cuya probabilidad es 1)

p(0) = 0,0563

p(al menos 1) = 1 - p(0) = 1 - 0,0563 = 0,9437

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La función de distribución de al probabilidad es una binomial con n=10 y p=1/4

En esta distribución la probabilidad de acertar exactamente k veces es:

$$\begin{align}&P(k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}\\&\\&\text{luego la probabilidad de acertar 3 veces será}\\&\\&P(3)=\binom{10}3 \frac{1}{4^3}·\frac{3^7}{4^7}=\frac{10·9·8}{6}·\frac{2187}{1048576}=\\&\\&120*\frac{2187}{1048576}=\frac{32805}{131072}\approx 0.25028228759766\\&\end{align}$$

La probabilidad de acertar al menos una ocasión es la probabilidad total menos la probabilidad de acertar 0 ocasiones

$$\begin{align}&P(>=1) = 1- P(0)=\\&\\&1-\binom {10}{0}\left(\frac 14  \right)^0\left(\frac 34   \right)^{10}=\\&\\&1 - 1·1·0.056313514709473=\\&\\&1- 0.056313514709473 = \\&\\&0.94368648529053\end{align}$$

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Y eso es todo.