Duda de grupos de álgebra abstracta
Buenas tengo examen pronto y aún me quedan unos ejercicios que no he podido resolver, agradezco de antemano la ayuda.
1) Pruebe que un grupo abeliano con dos elementos de orden 2 debe tener un grupo de orden 4.
2) Si a y b son elementos distintos de un grupo demuestre que
$$\begin{align}&a^2 ≠ b^2 "o" a^3 ≠b^3\end{align}$$3) Si G es un grupo y H≤G, demuestre que C(H)≤G.
4) Suponga que un grupo contiene los elementos a y b tal que |a|=4, |b|=2 y
$$\begin{align}&a^3b=ba \end{align}$$encuentre |ab|.
5) Sea H un subrupo de un grupo finito G. Suponga que g pertenece a G y n es el entero positivo mas pequeño tal que
$$\begin{align}&g^n ∈ H. \end{align}$$Pruebe que que n divide el orden de G.
De nuevo gracias de antemano la ayuda.
1 Respuesta
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No se pueden mandar tantos ejercicios en una pregunta no siendo triviales. Resolveré el primero, si quieres otros manda cada uno en una pregunta.
1) Sean a y b esos dos elementos que son distintos. Además ninguno de ellos es el elemento neutro porque el elemento neutro tiene orden 1.
Vamos a comprobar cuál es el grupo generado por ambos
H = <a,b>
Siendo abeliano nos evitamos unas cuantas operaciones y el grupo generado es
{a, b, aa=bb=e, ab}
Son 4 elementos, primero veamos que ab es distinto de los tres primeros
ab=a ==> b=e pero ya vimos que eso no era posible
ab=b ==> a=e que tampoco era posible
Usaré la comilla para denotar el inverso, es mucho menos aparatoso que el ^-1
ab=e ==> abb' = eb' ==> a=b'
como bb=e ==> bbb' = eb' ==> b=b'
luego a=b y eso tampoco podía ser.
Luego ab es un elemento distinto.
Y ahora veamos que no hay otro distinto.
Todo elemento que pueda generarse con a y b por ser un grupo abeliano podra ponerse de la forma
Aa··abb···b
Cada dos aes o dos bes se cancelan con lo cual al final solo puede quedar una de estos elementos
ab, a, b, e
Luego el grupo generado por a y b es
H={e, a, b, ab} de orden 4.
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Y eso es todo.
