Como le doy solución a este problema de estadística y probabilidad

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La media de n variables aleatorias normales de media mu y desviación sigma es una normal de media mu y desviación sigma entre raíz de n

$$\begin{align}&Si\;X_1, X_2,...,X_n \sim N(\mu,\sigma)\implies\\&\\&Y=(X_1+X_2+···+X_n) / n \sim N\bigg(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt n}\bigg)\\&\\&Y\sim N\bigg(10000,\frac{500}{\sqrt {40}}\bigg)=N(10000, \;79.0569415)\\&\\&P(9900\le Y\le 10200) =\\&\\&P(Y\le 10200)-P(Y\le9900)=\\&\\&\text{Tipificamos Y a una Z}\sim N(0,1)\\&\\&Z=\frac{Y-10000}{79.0569415}\\&\\&= P\bigg(Z\le \frac{10200-10000}{79.0569415}\bigg)-P\bigg(Z\le \frac{9900-10000}{79.0569415}\bigg)=\\&\\&P(Z\le 2.529822128) - P(Z\le -1.264911064)=\\&\\&0.994293982- 0.102951605=0.891342376\\&\\&\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

Para responder a Gustavo porque en los comentarios apenas se pueden escribir palabras y nada más.

$$\begin{align}&V(X)=E[(X-\mu_X)^2]=E(X^2)-2E(X·\mu_X)+E(\mu_X^2)=\\&\\&E(X^2)-2\mu_XE(X)+ \mu_X^2=\\&\\&E(X^2)-2\mu_X·\mu_X+\mu_X^2=\\&\\&E(X^2)-\mu_X^2\\&\\&\\&V(X+Y)= E[(X+Y)^2]-(\mu_{X+Y})^2=\\&\\&E(X^2)+E(Y^2)+2E(X)E(Y) -(\mu_X+\mu_Y)^2=\\&\\&E(X^2)+E(Y^2)+2\mu_X\mu_Y-\mu_X^2-\mu_Y^2+2\mu_X\mu_Y=\\&\\&E(X^2)-\mu_X^2+E(Y^2)-\mu_Y^2=V(X)+V(Y)\\&\\&\\&\\&V(aX)= E[(aX)^2] - \mu_{aX}^2 =a^2·E(X^2) - a^2\mu_X=\\&\\&a^2V(X)\\&\\&\\&V\bigg(\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}  \bigg)= \frac{1}{n^2}·V(X_1+...+X_n)=\\&\\&\frac 1{n^2}·nV(X_1)=\frac{V(X_1)}n\\&\\&Luego \\&\\& \sigma_{\overline X} = \sqrt{\frac{V(X_1)}{n}}= \sqrt{\frac{\sigma_{X_1}^2}{n}}=\frac{\sigma_{X_1}}{\sqrt n}\\&\end{align}$$

Recuerdo que E(X) es esperanza de X y V(X) varianza de X.

¡No sé que más necesitas para Puntuar Excelente! Me podría haber ahoorado mucho trabajo de saber que ibas a puntuar esto. La próxima vez me lo ahorraré todo si esto va a seguir así. Si quieres puedes cambiar la puntuación.

¡Gracias! 

Tú sabrás por qué no puntúas excelente! También entenderás por qué no te quieran contestar.